La distribution de poisson est asymptotiquement normale ?

[invite234d9cdb]

Bonjour,

je viens de lire dans le syllabus de stat d'un ami (oui je m'emmerde tellement que je lis les syllabi de mes amis) que la distribution de poisson est asymptotiquement normale.
J'avoue ne pas bien comprendre cette idée : la distribution de poisson est par définition une distribution binomiale ou n tend vers l'infini et où on a remplacé n*p par un nouveau paramètre, que je nomme .
Lorsqu'on dit "asymptotiquement" on sous-entend que n tend vers l'infini n'est-ce pas ? Mais dans la distribution de poisson c'est déjà le cas !
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[inviteaeeb6d8b]

Bonjour

la distribution de poisson est par définition une distribution binomiale ou n tend vers l'infini et où on a remplacé n*p par un nouveau paramètre, que je nomme .

La distribution de Poisson est définie ainsi :
suit une loi de Poisson de paramètre si pour tout .

On peut montrer que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson si quand tend vers l'infini.

Il n'y a rien d'étonnant à dire que la loi de Poisson est asymptotiquement normale : il s'agit sans doute du théorème central limit.

[invite234d9cdb]

Je n'ai pas compris Le central limit theorem nous dit que une somme de variables aléatoires se comportera comme une variable normale si le nombre de variables aléatoires additionnées est très élevé (me corriger si je dis un truc faux).

Pour une binomiale, Y représente le nombre de succès sur n essais, ou chaque essais est en fait une variable X suivant une distribution de Bernouilli (X peut donc valoir 1 ou 0). Comme
,
on voit tout de suite que par le central limit theorem, Y aura une distribution normale si n est grand. D'accord.

Mais pour U qui suit une Poisson, on a exactement la même chose que je ce que je viens de raconter, sauf que n tend déjà vers l'infini ! U serait donc la somme d'un très très grand nombre de variable X suivant une distribution de Bernouilli. La distribution de Poisson, si je suis le central limit theorem, est une distribution normale... quelque chose ne va pas.

[inviteaeeb6d8b]

La loi de Poisson est une loi comme les autres. Ne cherche pas à tout prix à la voir comme une loi limite. Vois sa définition dans mon message précédent.

La loi de Poisson converge vers la loi normale quand le paramètre (de la loi de Poisson) tend vers l'infini. Pour le prouver on peut utiliser le théorème central limit. Une idée de preuve :

Propriétés utiles :
- Si suit une loi de Poisson de paramètre alors et .


- Soit iid de loi alors suit une loi de Poisson de paramètre

- Utilisation du TCL :

alors :


Donc si suit une loi de Poisson de paramètre on a et et donc avec ce qui précède :
quand n tend vers l'infini.

C'est plus clair ?

[A voir en vidéo sur Futura]