convergences intégrales limites et tout leurs amis...

[invite1cc41022]

juste par curiosité :
l'exercice de seriedefonction m'interesse (j'ai essayé d'aider quelqu'un sans succès... et j'aime pas rester sur un échec...)

enoncé :
"soit I un intervalle de R et (fn) une suite de fct continues et intégrables de I sur R
Si I = [0;1] et que (fn) CV simplement vers f, est-ce que on a
lim (INTEGRALE SUR I de fn) = INTEGRALE SUR I de f ??"

j'ai d'abord pensé à tester les différents modes de convergence mais sans succès, il n'y a pas assez d'informations
ensuite, je me suis dis qu'il suffisait de trouver un contre exemple... plus facile a dire qu'à faire...

et puis cet intervalle [0;1] doit bien servir à quelque chose...

je séche personnellement (je sais, je suis pas très doué... mais bon j'y peux rien, j'ai du mal avec l'analyse)
si quelqu'un pouvait me donner une piste ou une méthode...

merci d'avance
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[invitee65b1c3d]

La réponse est non, pour trouver le contre exemple il faut utiliser la technique de la bosse roulante :

Par exemple :
Soit g = x ->
4x si x<1/4
1 si x = 1/4
1-4(x-1/4) si x appartient à ]1/4 1/2[
0 sinon.
g est définie sur R

Cette fonction est continue et d'intégrale 1/4 (sauf erreur de calcul).

Soit fn = g(n x)* 1/(intégrale de 0 à 1 de g(n x) )
fn est définie sur [0;1]

Comme l'intégrale de g(nx) n'est jamais nulle, fn est définie pour tout n et d'intégrale 1.

Ensuite, on vérifie que fn converge simplement vers la fonction nulle.
On a donc un contre-exemple (la limite des intégrale vaut 1 mais l'intégrale de la limite vaut 0)

[invite9c9b9968]

_ si tu avais une hypothèse de convergence uniforme sur les f_n, il n'y a pas de souci

_ Si on se restreint à la convergence simple, ça se gâte... Plusieurs cas :

* Tu peux dominer tes fonctions |f_n| par une fonction g intégrable sur [0;1] et positive : le théorème de convergence dominée de Lebesgue (très puissant) te permet de conclure

* La suite f_n est croissante et f continue ; alors le 1er théorème de Dini te permet de conclure que la convergence est en fait uniforme, tu te ramènes au cas 1

* Les f_n sont toutes des fonctions croissantes et f continue ; alors le 2nd théorème de Dini te permet encore de conclure à une convergence uniforme

On voit donc que la condition minimaliste est celle offerte par Lebesgue... Encore faudrait-il qu'elle soit vérifiée !

Le fait que l'on soit sur [0;1] n'apporte pas grand chose, si ce n'est d'être sur un segment ; on aurait pu tout aussi bien se placer sur [a;b], mais l'on préfère généralement en analyse se placer sur [0;1] quand on parle de segment de IR, car dans beaucoup de cas une translation homothétique permet de s'y ramener.

Bon voilà, je n'apporte pas trop au débat.. Si quelqu'un a d'autres idées, qu'il n'hésite pas

julien

EDIT : pour un contre-exemple aux conditions assez floues de l'énoncé, as-tu pensé aux fonctions triangles ? Elles constituent généralement un très bon contre-exemple à ce genre de problème, et là je crois que c'est le cas... Bon courage

[invite9c9b9968]

petit croisement avec CB

bien joué, un contre-exemple assez original je trouve

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1cc41022]

je vous remercie.

J'avoue que je contre exemple est vraiment génial, tout s'enchaine nickel, c'est vraiment sympa.

[inviteab2b41c6]

Si on ajoute que la limite doit être continue comme c'était le cas dans le premier post qui a été effacé il me semble, ca devrait marcher je pense:

(fn) est continue et tend ponctuellement vers f continue sur [0,1], notamment (fn) converge presque partout vers f sur [0,1]=X

par continuité de fn sur un compact, fn atteint un maximum sur X, notons le (mn)
Par continuité de f sur le compact X, f atteint également un maximum m.

Notamment, la suite (mn) converge vers un réel qui est probablement m, mais en tout cas, puisque convergente, reste majoré par un réell M.
Notamment (|fn|)<M pour tout n, et M est clairement intégrable puisque l'on est sur une mesure finie.
Notamment on peut appliquer le théorème de la convergence dominée sur X et on a le résultat.
Sauf si je me trompe.

[invitee65b1c3d]

Si on ajoute que la limite doit être continue comme c'était le cas dans le premier post qui a été effacé il me semble, ca devrait marcher je pense:

En fait non, puisque j'ai donné un contre exemple avec une limite continue (fonction constante égale à 0)

(fn) est continue et tend ponctuellement vers f continue sur [0,1], notamment (fn) converge presque partout vers f sur [0,1]=X

par continuité de fn sur un compact, fn atteint un maximum sur X, notons le (mn)
Par continuité de f sur le compact X, f atteint également un maximum m.

Notamment, la suite (mn) converge vers un réel qui est probablement m, mais en tout cas, puisque convergente, reste majoré par un réell M.

C'est là qu'est l'erreur : la suite mn ne converge pas nécessairement : le maximum de fn sur X n'est pas nécessairement atteint au même point pour tout n et mn peut très bien diverger vers l'infini (c'est le cas dans mon exemple)

Notamment (|fn|)<M pour tout n, et M est clairement intégrable puisque l'on est sur une mesure finie.

Le M n'existe pas forcément .

Notamment on peut appliquer le théorème de la convergence dominée sur X et on a le résultat.
Sauf si je me trompe.

Ben, oui, tu te trompe

[inviteab2b41c6]

Ok, mon erreur vient du fait que (mn) varie également en fonction de x
Je savais que je n'arrivais pas moi même à me persuader