Applications commutantes.

[invite55b815e0]

Avez-vous des exemples d'ensembles de fonctions, celles-ci commutant toutes entre elles ?

Pour illustrer : ensembles des homothéties de centre 0, ensemble des application linéaires x-->a.x dans R, ... mais avec des fonctions plus compliquées !
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[invite4793db90]

Salut,

tu parles de fonctions numériques ou d'applications?

Les deux ensembles que tu as cités forment en fait des groupes, i.e. il y a une structure algébrique qui est dans un sens "symétrique".

Tu devrais peut-être préciser un peu ta requête.

Cordialement.

[invite55b815e0]

Non je ne parle pas de groupe.

Je parle d'un ensemble d'applications F, de E dans E (par exemple E=R) muni de la loi de composition interne o (composition des applications).

Quand est-ce que la loi o est commutative dans F ?

Par exemple, pour E=R, a-t-on un résultat du type : o est commutatif dans F si, et seulement si les éléments de F ne sont que des applications linéaires, ou que des fonctions puissance, ou ... ?

[invite4793db90]

Salut,

[...] des applications linéaires, ou que des fonctions puissance, ou ... ?

ben, c'est des groupes...

Tu veux une classe de fonctions qui commutent entre elles pour la composition (donc un groupe abélien de fonction), ou deux applications qui commutent?

Je ne suis pas sûr de te suivre...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Salut,


ben, c'est des groupes...

Tu veux une classe de fonctions qui commutent entre elles pour la composition (donc un groupe abélien de fonction), ou deux applications qui commutent?

Même s'il y a bien un élément neutre, l'identité commutant avec toutes les applications, il n'y a pas d'exigence d'existence d'un inverse pour chaque élément. Donc je ne vois pas de raison a priori pour qu'un tel ensemble constitue un groupe.
Si on s'intérressait uniquement aux fonctions inversibles, on aurait bien un groupe, et la détermination du centre donnerait déjà des indications.
En espérant ne pas avoir dit de bétises.

[invitee65b1c3d]

Non je ne parle pas de groupe.

Je parle d'un ensemble d'applications F, de E dans E (par exemple E=R) muni de la loi de composition interne o (composition des applications).

Quand est-ce que la loi o est commutative dans F ?

Par exemple, pour E=R, a-t-on un résultat du type : o est commutatif dans F si, et seulement si les éléments de F ne sont que des applications linéaires, ou que des fonctions puissance, ou ... ?

Je ne pense pas qu'il y ait une caractérisation simple des différents F.

Quelques exemple d'ensembles F de fonctions vérifiant ces propriétés :

Soit g une fonction inversible



Soit h une fonction quelconque et I une partie de



F = l'ensemble des applications linéaires de R dans R (à noter que ce n'est pas un groupe)

F= l'ensemble des applications affines de coeficient directeur 1

F = l'ensemble des x -> xⁿ

[invite55b815e0]

Je commençais à douter de mon intelligibilité ... heureusement vous m'avez saisi. Voilà, le problème, quoique très général, est assez bien posé. Il m'intrigue. Sauriez-vous si une question analogue avait déjà été posée auparavant ?

Je propose pour commencer que l'on s'intéresse à des cas particuliers où les objets étudiés sont plus familiers.
Par exemple E=R et F infini inclus dans l'ensemble des fonctions de classe C1.
A-t-on un résultat du style : tous les éléments de F sont des applications linéaires non nulles, ou tous les éléments de F sont des "puissances non nulles de x", ou ... ?
Ou encore pour E un ensemble fini.

Toutes les idées sont les bienvenues ...

[invitec314d025]

J'ai des doutes concernant l'existence d'un résultat général.
Ne vaudrait-il pas mieux adopter une approche constructive, i.e. partir d'une fonction, trouver toutes les fonctions qui commutent avec elles ... ?
ça n'est pas évident a priori vu que les fonctions que l'on rajoute au fur et à mesure dans F ne commutent pas nécessairement entre elles (ça serait plus simple si on avait une relation d'équivalence, mais ici on a pas la transitivité)

[invite4793db90]

Bonjour,

il existe une infinité de tels ensembles: soit f une fonction quelconque de E dans F quelconques. Je note fⁿ la n-ième fontion itérée de f (fⁿ=fof^n-1) avec comme d'habitude f⁰ =Id si E=F et f¹ =f.
Alors l'ensemble {fⁿ, n>0} est un magma commutatif (un monoïde commutatif si E=F), car il est clair que pour tout n et m entiers positifs, fⁿof^m=f^n+m=f^mofⁿ.

Je doute que ce soient des structures vraiment intéressantes. En particulier les homographies (disons sur P₁R ou sur P₁C) forment un groupe certes non-commutatif mais beaucoup plus riche!

Cordialement,
martini, qui fait la promotion des groupes...

[invite55b815e0]

C'est vrai que l'on est amené à rechercher toutes les applications qui commutent avec f, où f est fixée. Ce problème, lui seul, ne semble pas résoluble en toute généralité.