Résolution d'une égalité

[invitee47f5cfc]

Bonjour tout le monde !

Je ne viens pas souvent sur ce forum, mais aujourd'hui, je sèche sur une formule à résoudre . Pour situer le contexte, je cherche à calculer la rentabilité moyenne sur plusieurs investissements.

Pour deux investissements, je me retrouve avec cette égalité :

(mi = montant investi, r = rentabilité, t = durée investissement, rm = rentabilité moyenne)

miA*(rA^tA) + miB*(rB^tB) = miA*(rm^tA) + miB*(rm^tB)

soit simplifiée :

A*(B^C) + D*(E^F) = A*(G^C) + D*(G^F)

Ma question est la suivante : est-il possible d'isoler G (ou rm si l'on prend la première formule) ? Ca fait une paire d'années que je n'ai pas jonglé avec des formules de ce type, et je suis un peu en panne sèche... Je suis presque certain que des formules de ce type existent déjà en compta ou en éco, mais mes recherches sur Google n'ont rien donné. Quelqu'un aurait un début de solution ?

Merci !
Mike
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[phys4]

Assez complexe en effet. Est ce vraiment la bonne mise en équation.
A moins que l'énoncé du problème l'impose, j'aborderai cette question autrement.
Sur plusieurs investissements de durée différente, il est clair que la rentabilité moyenne varie chaque année. Si on essaie de calculer une rentabilité moyenne par année, cela devient plus simple et aussi plus réaliste.

[invitee47f5cfc]

La rentabilité moyenne d'un investissement par année est donnée par la formule :

(Montant final / Montant initial)^(1/Durée en années)

soit :

R_i = (MF_i/MI_i)^(1/T_i)

Si l'on veut obtenir la somme des montants finaux, cela revient à calculer :

MI₁*(R₁^T₁) + ... + MI_i*(R_i^T_i)

La rentabilité moyenne (R_m) que je cherche à obtenir doit satisfaire à :

MI₁*(R₁^T₁) + ... + MI_i*(R_i^T_i) = MI₁*(R_m^T₁) + ... + MI_i*(R_m^T_i)

J'arrive à calculer R_m avec une recherche dichotomique ou incrémentale, mais utiliser une formule serait plus élégant... Maintenant à savoir si c'est "facilement" réalisable ?

[inviteaf1870ed]

Il n'y a pas de réponse analytique à ton équation. On peut l'écrire sous la forme
ax^p+bx^q=c, avec des notations évidentes.
On peut encore simplifier cette écriture en supposant a non nul et en divisant tout par a et en mettant x^p en facteur (je suppose q>p) :
x^p(1+Bx^q)=C

Ensuite je pense que la fonction de Lambert doit te permettre de résoudre cette équation, mais cela ne t'avancera guère.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee47f5cfc]

OK, je vais m'en tenir à ma recherche itérative alors
Merci pour tout !