fonctions implicites

[inviteb9ba4d52]

Bonsoir,

Je suis étudiante en éco et j'ai une fonction comme ça:

m(dU/dG).(dc/dG)/(dU/dx)+n (dF/dc).(dc/dG)=1
(d signifie dérivée partielle)

où U et F sont deux fonctions comme ça:
U(x,g, c(G, mg+nh))
F(h, c(G, mg+nh)

Mon directeur de thèse m'a demandé de dériver cette équation implicitement. En effet, cette équation détermine un niveau de c, noté c* et je voudrais le comparer à un niveau optimal de congestion c**, déterminé dans une autre partie de ma thèse.

A partir de là j'ai deux prblèmes:

1) Quand j'essaie juste de calculer la dérivée partielle de cette fonction par rapport à c, je bloque car je ne vois pas ce que eut donner la partie d(dc/dG)/dc: c'est un peu comme dériver la dérivée de f par rapport à f, ça ne veut rien dire

2) Je ne vois pas trop le but: si j'arrive à dériver ça implicitement, ça me servira à quoi?

Bref ça fait quelques temps que je suis bien perdue, toute aide serait vraiment bienvenue

Merci pour vos conseils

Isa
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[KerLannais]

Salut,

D'abord je pense que si tu te pose des questions sur ta thèse tu peux aller voir ton directeur de thèse ou lui envoyer un mail il est là pour ça normalement. Ensuite je vais te donner des exemples simples de calcul de dérivée de f par rapport à f, ce que je vais noter

ex:








dériver implicitement f' par rapport à f ce n'est pas forcément plus difficile que de la faire par rapport à n'importe quelle fonction il s'agit juste de dériver

Bien sûr j'ai pas dit que c'était simple non plus.

[inviteb9ba4d52]

Merci beaucoup Ker Lannais j'ai tout compris!

Par contre malgré mes tentatives j'arrive pas encore à appliquer ta formule à ma fonction car elle a deux variables. Donc quand je dérive la fonction réciproque, que je note f*(x,y) (* signifie récirpoque, je sais pas utiliser latex dans les messages du forum ), je me retrouve avec 1/(f'°f*) et c'est ce f'(x,y) que je sais pas calculer depuis hier. Je dois dériver par rapport à x, y, ou f?

Je sais pas si c'est très clair ce que je raconte mais grosso modo quand je ne sais pas exprimer sous forme générale (comme f') une fonction à deux variables

Merci encore (Au fait, est ce que tu es du campus de Ker Lann? Moi je suis du campus de Cachan)

[KerLannais]

Re

Oui, je suis de Ker Lann.
A mon avis, ce que te demande ton directeur de thèse c'est d'obtenir une intégrale première, cad une expression du type:

quand les paramètres de varient.
(en général quand on dérive implicitement une équation différentielle par la solution c'est pour trouver une intégrale première, mais en général c'est pour des équations différentielles ordinaire)
Si je traduit bien ton expression est la suivante:

(mon dieu c'est long à taper)
Je suppose qu'il existe une telle fonction pour voir quelle tête elle pourrait avoir
Si je calcule

je trouve

Ainsi on a fortement envie de prendre:

On peut donc prendre

Si je note une primitive de

qui s'annule en 0 alors:

ce n'est plus une équation différentielle mais une équation fonctionnelle, mais la fonction est à priori imbuvable et donc je suis pas sûr que ça t'avance beaucoup. Toutefois si

est inversible d'inverse alors

mais bon c'est très formel tout ça ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Oups, en fait j'ai dit des bétises.

Un truc plus correct serait ceci: si tu prends

avec la primitive de:

alors tu peux vérifier que:

et donc

là je crois que c'est correct

[inviteb9ba4d52]

Merci beaucoup KerLannais. C'est un peu complexe mais je n'avais pas vu les choses sous cet angle .Je vais essayer de me débrouiller avec tout ça et de relier (un peu) les maths avec un sens quelconque en éco.

Merci encore pour ton aide

Isa