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Produit Scalaire



  1. #1
    karatekator

    Question Produit Scalaire


    ------

    Bonjours tout le monde.
    Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer ce qu'est un produit scalaire?
    Je suis en term S et je sait que ca permet de resoudre de nombreux probléme (en particulier pour démontré que deux vecteur sont perpendiculaire...)
    Ma question c'est a quoi ca correspond exactement, et pourquoi quelqu'un un jour a décider d'inventé cette opération?(qu'elle est son l'interet ?)

    merci pour vos réponses...

    -----
    Sauf erreur, je ne me trompe jamais

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  3. #2
    shokin

    Re : Produit Scalaire

    Le produit scalaire entre deux vecteurs est un réel qui est la somme des produits des coordonnées correspondantes de ces deux vecteurs.

    Exemple :

    soient les vecteurs :

    -a-> = (1;2;3) et -b-> = (4;5;6)

    -a-> * -b-> = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32.

    Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, ceux-ci sont orthogonaux entre eux. [Théorème que tu pourras démontrer par la suite.]

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  4. #3
    karatekator

    Re : Produit Scalaire

    Oui mais ca sert a quoi de calculer le produit de deux vecteurs a part pour le cas précis ou ceux ci sont perpenduculaire?
    Sauf erreur, je ne me trompe jamais

  5. #4
    Sephi

    Re : Produit Scalaire

    D'une part, le produit scalaire est une opération d'analyse vectorielle, donc c'est un outil (très important).

    D'autre part, il possède aussi une signification physique, et c'est là, selon moi, l'intérêt principal. Le produit scalaire entre 2 vecteurs évalue l'intensité de la contribution d'un des vecteurs dans la direction de l'autre ... Euh ...

    Si tu imagines qu'un vecteur représente une force, par exemple, alors le produit scalaire de 2 vecteurs t'indique "avec quelle intensité l'une des forces agit dans la direction de l'autre force". Si les 2 forces sont perpendiculaires, il est évident qu'elles ne s'influencent pas dans leurs directions respectives, ce qui est traduit par le fait que leur produit scalaire est alors nul.

    Si les 2 forces sont dans la même direction, alors la contribution de l'une sur l'autre est maximale (vu qu'elles ont même direction), et c'est aussi le cas où la valeur du produit scalaire est maximale ...

  6. #5
    karatekator

    Re : Produit Scalaire

    Merci bcp pour vos réponses
    Sauf erreur, je ne me trompe jamais

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    shokin

    Re : Produit Scalaire

    Tu verras par exemple certaines formules dont :

    le cosinus d'un angle compris entre deux vecteurs égale le produit (scalaire) des deux vecteurs sur (divisé par) le produit de leurs normes respectives.

    Très utile !

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  10. #7
    giga88

    Re : Produit Scalaire

    une question :
    les produits scalaires, ça marche uniquement dans le plan ?

  11. #8
    martini_bird

    Re : Produit Scalaire

    Salut,

    un produit scalaire est, d'une manière très générale, une forme bilinéaire définie positive.

    Il est donc possible de définir un produit scalaire dans une multitude d'espaces, à commencer par les IRn.

    Cordialement.

  12. #9
    Romain-des-Bois

    Re : Produit Scalaire

    en ts (partie obligatoire), le produit scalaire est utile pour la géométrie dans l'espace :
    chercher un vecteur normal à un plan,
    trouver une équation cartésienne d'un plan.
    en spé :
    le produit scalaire intervient souvent dans les similitudes, comme question de fin d'exercice pour trouver des angles droits.

  13. #10
    Gwyddon

    Re : Produit Scalaire

    plus tard, c'est fondamental pour la théorie de fourier, qui permet par exemple en physique de faire du traitement du signal
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    shokin

    Re : Produit Scalaire

    Citation Envoyé par giga88
    une question :
    les produits scalaires, ça marche uniquement dans le plan ?

    Aussi dans un espace à n dimensions ! cf mon exemple dans l'espace à trois dimensions. [Algèbre linéaire...]

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  15. #12
    C.B.

    Re : Produit Scalaire

    On peut remarquer aussi qu'un certain nombre de formules de physique utilisent le produit scalaire.

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  17. #13
    kingloowy

    Re : Produit Scalaire

    Bonjour,

    le produit scalaire peut être défini dans des espaces à n dimensions.

    En physique il permet (par exemple) de calculer le travail d'une force.

  18. #14
    Quinto

    Re : Produit Scalaire

    Citation Envoyé par 09Jul85
    plus tard, c'est fondamental pour la théorie de fourier, qui permet par exemple en physique de faire du traitement du signal
    Ou pour n'importe quel espace de Hilbert.
    Notamment, on connait exactement tous les espaces de Hilbert, à isomorphismes près, même en dimension infinie, et on peut montrer que tout tel espace est produit d'espaces de Hilbert de dimension au plus aleph0.

  19. #15
    shokin

    Re : Produit Scalaire

    C'est quoi, les espace Hilbertiens ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  20. #16
    Sephi

    Re : Produit Scalaire

    C'est en gros, un espace où tu sais tout faire C'est un espace vectoriel, c'est muni d'un produit scalaire qui définit une norme, cette dernière fait de l'espace un espace métrique, de plus il est complet etc ... Bref c'est super agréable.

    C'est comme un espace euclidien classique, mais étendu à des dimensions quelconques.

  21. #17
    Quinto

    Re : Produit Scalaire

    Et il peut être complexe également.

  22. #18
    GrisBleu

    Re : Produit Scalaire

    Salut

    De ma petite experience d apprenti ingenieur, le produit scalaire (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire ) est vraiment utile pour ecrire des formules lourdes (transformes de fourier, en ondelettes, etc.).
    De plus tu as acces au raisonnement geometrique et a l interpretation qui va avec :
    en geometrie de TS, imagines toi avec 2 vecteurs et de norme tel que le produit scalaire et soit tu conclues vite que et ne sont pas tres differents (en general, ce n est pas trop faux, dessine le pour voir).
    maintenant si a la place de vecteur tu parles de fonction, tu peux utiliser le meme vocabulaire (esprit ingenieur) : prend l espace des fonctions d energie finie (les "vraies" fonctions physiques). Imagines que tu connaisses une fonction mais que tu ne connaisses pas la fonction . Cet espace est aussi muni d un produit scalaire. Si tu as encore une fois , tu ne vas pas trop te gener (sauf si des tests te montrent le contraire) pour poser .
    Pareils en statistiques par exemple.

    PS: ce n est qu un aspect de la chose mais pour "visualiser" c est pratique

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