Produit Scalaire
Bonjours tout le monde.
Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer ce qu'est un produit scalaire?
Je suis en term S et je sait que ca permet de resoudre de nombreux probléme (en particulier pour démontré que deux vecteur sont perpendiculaire...)
Ma question c'est a quoi ca correspond exactement, et pourquoi quelqu'un un jour a décider d'inventé cette opération?(qu'elle est son l'interet ?)
merci pour vos réponses...
Sauf erreur, je ne me trompe jamais
Le produit scalaire entre deux vecteurs est un réel qui est la somme des produits des coordonnées correspondantes de ces deux vecteurs.
Exemple :
soient les vecteurs :
-a-> = (1;2;3) et -b-> = (4;5;6)
-a-> * -b-> = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32.
Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, ceux-ci sont orthogonaux entre eux. [Théorème que tu pourras démontrer par la suite.]
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Oui mais ca sert a quoi de calculer le produit de deux vecteurs a part pour le cas précis ou ceux ci sont perpenduculaire?
Sauf erreur, je ne me trompe jamais
D'une part, le produit scalaire est une opération d'analyse vectorielle, donc c'est un outil (très important).
D'autre part, il possède aussi une signification physique, et c'est là, selon moi, l'intérêt principal. Le produit scalaire entre 2 vecteurs évalue l'intensité de la contribution d'un des vecteurs dans la direction de l'autre ... Euh ...
Si tu imagines qu'un vecteur représente une force, par exemple, alors le produit scalaire de 2 vecteurs t'indique "avec quelle intensité l'une des forces agit dans la direction de l'autre force". Si les 2 forces sont perpendiculaires, il est évident qu'elles ne s'influencent pas dans leurs directions respectives, ce qui est traduit par le fait que leur produit scalaire est alors nul.
Si les 2 forces sont dans la même direction, alors la contribution de l'une sur l'autre est maximale (vu qu'elles ont même direction), et c'est aussi le cas où la valeur du produit scalaire est maximale ...
Merci bcp pour vos réponses
Sauf erreur, je ne me trompe jamais
Tu verras par exemple certaines formules dont :
le cosinus d'un angle compris entre deux vecteurs égale le produit (scalaire) des deux vecteurs sur (divisé par) le produit de leurs normes respectives.
Très utile !
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
une question :
les produits scalaires, ça marche uniquement dans le plan ?
Salut,
un produit scalaire est, d'une manière très générale, une forme bilinéaire définie positive.
Il est donc possible de définir un produit scalaire dans une multitude d'espaces, à commencer par les IRn.
Cordialement.
en ts (partie obligatoire), le produit scalaire est utile pour la géométrie dans l'espace :
chercher un vecteur normal à un plan,
trouver une équation cartésienne d'un plan.
en spé :
le produit scalaire intervient souvent dans les similitudes, comme question de fin d'exercice pour trouver des angles droits.
plus tard, c'est fondamental pour la théorie de fourier, qui permet par exemple en physique de faire du traitement du signal
Envoyé par giga88
Aussi dans un espace à n dimensions ! cf mon exemple dans l'espace à trois dimensions. [Algèbre linéaire...]
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
On peut remarquer aussi qu'un certain nombre de formules de physique utilisent le produit scalaire.
Bonjour,
le produit scalaire peut être défini dans des espaces à n dimensions.
En physique il permet (par exemple) de calculer le travail d'une force.
Ou pour n'importe quel espace de Hilbert.
Notamment, on connait exactement tous les espaces de Hilbert, à isomorphismes près, même en dimension infinie, et on peut montrer que tout tel espace est produit d'espaces de Hilbert de dimension au plus aleph0.
C'est quoi, les espace Hilbertiens ?
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
C'est en gros, un espace où tu sais tout faireC'est un espace vectoriel, c'est muni d'un produit scalaire qui définit une norme, cette dernière fait de l'espace un espace métrique, de plus il est complet etc ... Bref c'est super agréable.
C'est comme un espace euclidien classique, mais étendu à des dimensions quelconques.
Et il peut être complexe également.
Salut
De ma petite experience d apprenti ingenieur, le produit scalaire (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire ) est vraiment utile pour ecrire des formules lourdes (transformes de fourier, en ondelettes, etc.).
De plus tu as acces au raisonnement geometrique et a l interpretation qui va avec :
en geometrie de TS, imagines toi avec 2 vecteurset
maintenant si a la place de vecteur tu parles de fonction, tu peux utiliser le meme vocabulaire (esprit ingenieur) : prend l espace des fonctions d energie finie (les "vraies" fonctions physiques). Imagines que tu connaisses une fonction
Pareils en statistiques par exemple.
PS: ce n est qu un aspect de la chose mais pour "visualiser" c est pratique
