cos(u,v)
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cos(u,v)



  1. #1
    invite63ea3fef

    Angry cos(u,v)


    ------

    Bonjour,

    Voilà cette question que je me pose :

    On a trois vecteurs u,v et w avec u+v+w = 0, exprimer cos(u,v) avec ça

    Je sais bien que cos(u,v) = u.v/||u||.||v|| et que si u est orthogonal à v alors cos(u,v) = 0 et si u est orthogonal à w alors c'est pythagore, mais dans un cas quelconque

    Si quelqu'un avait une petite idée, merci d'avance.

    -----

  2. #2
    lyapounov

    Re : cos(u,v)

    Citation Envoyé par criticus
    On a trois vecteurs u,v et w avec u+v+w = 0, exprimer cos(u,v)
    salut
    ne serait-ce pas la formule d'Al Kashi
    u²+v²= w²*cos(u,v)
    on retrouve pythagore pour angle (u,v)= /2
    donc
    cos (u,v) = (u²+v²)/w²
    La logique sert à prouver, l'intuition sert à créer. H Poincaré

  3. #3
    invite63ea3fef

    Re : cos(u,v)

    Ah bon, merci beaucoup de cet indice ! Je vais voir ce que je peux faire avec ça.


  4. #4
    matthias

    Re : cos(u,v)

    Citation Envoyé par lyapounov
    salut
    ne serait-ce pas la formule d'Al Kashi
    u²+v²= w²*cos(u,v)
    on retrouve pythagore pour angle (u,v)= /2
    donc
    cos (u,v) = (u²+v²)/w²
    ce ne serait pas plutôt :
    w2 = u2 + v2 + 2||u||.||v||.cos(u,v)
    ??

    Pour la trouver, écrire w = -(u+v) et mettre au carré

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite63ea3fef

    Re : cos(u,v)

    Exact ! C'est bien du Al Kashi :

    http://www.bibmath.net/dico/index.ph...a/alkashi.html

    Merci google !

  7. #6
    invite63ea3fef

    Question Re : cos(u,v)

    Citation Envoyé par matthias
    ce ne serait pas plutôt :
    w2 = u2 + v2 + 2||u||.||v||.cos(u,v)
    ??

    Pour la trouver, écrire w = -(u+v) et mettre au carré
    Bonjour,

    C'est bien ce que je pense aussi, mais alors pourquoi on a un signe - avec Al-Kashi ? C'est parce que ce sont des mesures algébriques avec Al-Kashi ? Y'a un truc qui cloche ma parole non ?

  8. #7
    matthias

    Re : cos(u,v)

    Ce que j'ai écrit est la version vectorielle de Al-Kashi.
    Prends u = AB, v = BC, w = CA (pour garder u+v+w = 0)
    l'angle à l'intérieur de ton triangle est l'angle (BA,BC) soit (-u,v).
    Vu que l'on a un cosinus, on n'a pas à s'embêter avec le fait que les angles sont orientés, par contre cos(u,v) et cos(-u,v), ça n'est pas la même chose (-u,v) = (u,v) + pi.

  9. #8
    invite63ea3fef

    Re : cos(u,v)

    Ah bon, tant pis ! Pourtant si IIuII = IIvII = IIwII alors on a un triangle équilatéral dont tous les angles valent 60° ou pi/3 radians <=> cos(u,v) = 1/2 => Al-Kashi marche bien. Mais w^2 = u^2 + v^2 + 2 IIuII IIvII cos(u,v) => cos(u,v) = - 1/2 ce qui est faux ...

    Bon c'est pas grave, je vais penser par moi-même sur ce coup-là. Y'a forcément une solution à ce dilemme ! Merci de votre aide !

    Aïe ! ça a croisé avec Matthias. Bon merci Matthias, je vais voir ce que tu racontes. Hum !

  10. #9
    invite63ea3fef

    Re : cos(u,v)

    Citation Envoyé par matthias
    Ce que j'ai écrit est la version vectorielle de Al-Kashi.
    Prends u = AB, v = BC, w = CA (pour garder u+v+w = 0)
    l'angle à l'intérieur de ton triangle est l'angle (BA,BC) soit (-u,v).
    Vu que l'on a un cosinus, on n'a pas à s'embêter avec le fait que les angles sont orientés, par contre cos(u,v) et cos(-u,v), ça n'est pas la même chose (-u,v) = (u,v) + pi.
    Ah bon ça m'éclaire bien ! Ca m'étonnait aussi que Al-Kashi se soit trompé dans ses calculs. Quel grand Mathématicien ce Al-Kashi ! :

    http://www.col-camus-soufflenheim.ac...?IDP=381&IDD=0

  11. #10
    Evil.Saien

    Re : cos(u,v)

    Citation Envoyé par matthias
    ce ne serait pas plutôt :
    w2 = u2 + v2 + 2||u||.||v||.cos(u,v)
    ??

    Pour la trouver, écrire w = -(u+v) et mettre au carré
    ERREUR DE FRAPPE
    En fait c'est w2 = u2 + v2 - 2||u||.||v||.cos(u,v)

    Maintenant ton exemple marche
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  12. #11
    matthias

    Re : cos(u,v)

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    ERREUR DE FRAPPE
    En fait c'est w2 = u2 + v2 - 2||u||.||v||.cos(u,v)

    Maintenant ton exemple marche
    Non, l'imcompréhension vient juste du sens des vecteurs.

  13. #12
    invite63ea3fef

    Smile Re : cos(u,v)

    Citation Envoyé par matthias
    Non, l'imcompréhension vient juste du sens des vecteurs.
    Exact ! Dans le cas où les normes sont égales, on a bien un triangle équilatéral, mais attention :

    (u,v) = - 2*pi/3 et (-u,v) = + pi/3 si on tourne dans le sens direct (contraire au sens des aiguilles d'une montre). Y'avait une subtilité là-dedans mine de rien !

    Merci encore de votre aide.

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