Salut a tous,
Je bloque sur l'exo suivant: On prendet
Pour le moment, en introduisant le produit scalaire
Quelqu'un aurait une piste? Merci d'avance pour vos réponses
« la sensation varie comme le logarithme de l'excitation ». loi de Weber-Fechner
Je te propose d'essayer de montrer qu'il suffit de le prouver dans le cas où S est diagonale, puis ensuite de traiter ce cas plus simple.
Commence par le faire pour S diagonale.
Qu'entendez vous par la?
En effet, je me suis déja servi que S etait diagonalisable en base ON donc semblable a une matrice diagonale et on a Tr(S): ∑ des vp de S (qui st ds R+), c'est d'ailleurs comme cela que j'ai trouvé l'inégalité de mon premier post...
« la sensation varie comme le logarithme de l'excitation ». loi de Weber-Fechner
je veux dire qu'avec le théorème dont tu parles, tu peux montrer que si l'inégalité est vraie lorsque la matrice S est diagonale, alors elle est vraie aussi en prenant S symétrique quelconque
Okay ca je suis d'accord donc je vais regarder avec S diagonale, merci
« la sensation varie comme le logarithme de l'excitation ». loi de Weber-Fechner
Je me retrouve en fait avec le même problème, puisqu'en fait le fait de la prendre diagonale ne ma pas aider, je me retrouve avec les même expressions puisque j'avais diagonalisé S... Par ou débuter? Ce qui me pose problème c'est qu'il doit falloir user du fait que V est Orthogonale et donc que le Sp(V) C {-1,1} non?
« la sensation varie comme le logarithme de l'excitation ». loi de Weber-Fechner
il faut bien sur utiliser que V est orthogonale, mais pas de cette facon, écris tout simplement ce que vaut la trace de VS si S est diagonale, et normalement ca devrait venir tout seul.
Franchement non parce que pas dinfos sur le signe des coefficients de V...
« la sensation varie comme le logarithme de l'excitation ». loi de Weber-Fechner
oui mais tu as une info sur le signe de ceux de S et les coefficients de V ne peuvent pas prendre n'importe quelles valeurs (puisque V est orthogonale)
Tu peux nous montrer ça?Envoyé par aNyFuTuRe-
L'inégalité ?
sinon on a S = PDP-1 avec P orthogonale et D= diag(a1...an) ou pr tt i,
On a donc
et sinon au niveau du produit scalaire,
Pour finir, si je prend S=diag(a1...an), et si
On a
et la me faudrait un truc sur le signe de
« la sensation varie comme le logarithme de l'excitation ». loi de Weber-Fechner
Tu as fait le plus dur, je ne vois pas pourquoi tu t'acharnes à chercher des informations sur le signe des coefficients de V.
en reprenant ton expression de tr(VS), quelle est la majoration la plus simple que tu puisses faire pour faire apparaitre tr(S) ?
sinon pour l'inégalité que tu donnes dans ton premier post, si elle provient de l'application de cauchy-schwarz dans ton dernier post, ca m'a l'air faux, car tu n'as pas tr(S²) = (tr S)²
On a
Et pour faire apparaitre Tr(S) faudrait majorer les vi,i par 1 ...
Dernière modification par aNyFuTuRe- ; 13/06/2009 à 17h55.
« la sensation varie comme le logarithme de l'excitation ». loi de Weber-Fechner
Peut être pourrais tu nous redonner la définition de matrice orthogonale, ça te donnerait peut être des idées de l'écrire, et on pourrait vérifier que tu n'oublies rien.
J'étais bizarrement entrain de faire le même exo ^^ ...quelle coincidence .
Pour une matrice D diagonale, de coefficients diagonaux dii tous positifs.
Or ta matrice V étant orthogonale , la norme du vecteur-colonne j (par exemple) vaut
Donc
Tous les coefficients de V étant ainsi inférieurs ou égaux à 1 , tu peux les majorer par 1 dans ton expression :
( On utilise ici aussi le fait que les
Tu sais maintenant que pour D diagonale
S étant diagonalisable en base ON, on peut écrire
On a alors
Or
On utilise maintenant le fait que
Et finalement
Peut-être que quelque chose m'échappe mais j'ai l'impression qu'il y a une arnaque à cet endroit
La matrice est orthogonal certes mais cela ne veut pas dire que les vecteurs colonnes sont orthonormés... donc on a pas necessairement ||Cj|| = 1. Tu prends par exemple A = 2In, A est orthogonale mais ||Cj|| = 2
Or ta matrice V étant orthogonale , la norme du vecteur-colonne j (par exemple) vaut
Donc
« la sensation varie comme le logarithme de l'excitation ». loi de Weber-Fechner
J'ai rien ditet c'est ca qu'il me manquait ...
« la sensation varie comme le logarithme de l'excitation ». loi de Weber-Fechner
C'est pourtant la définition même d'une matrice orthogonale : tous les vecteurs-colonnes sont orthogonaux et de norme 1 ... (2In n'est donc pas ortogonale)
Oui oui Je l'ai remarqué ce matin ^^
J'ai été trop rapide dans mes calculs .
Je rectifie donc le passage diagonale ==> symétrique
On a montré que pour D diagonale
On peut montrer que
On considère
et
Alors
Et comme
Donc
Or la trace d'un endomorphisme ne dépends pas de la base choisie
On a donc
On a donc bien finalement
c'est toujours faux, si on note a et b les endomorphismes associés à A et B dans une meme base, alors AB est la matrice de a o b. si tu changes de base sur une seule des 2 matrices tu ne peux rien dire.
Sinon avec ce que tu dis on aurait AB = AB' pour toute matrice B' semblable à B, ca parait un peu bizarre ^^
Aouch c'est vrai il faudrait changer de base pour V aussi... Aurais-tu quelque chose à proposer ?
ta premiere idée était bonne, à l'endroit ou tu t'es trompé utilise tr(AB) = tr(BA), pour appliquer l'inégalité du cas diagonal mais pas forcément avec la matrice V comme matrice orthogonale
Ah ben oui !!
Avec
Donc
Cette fois je pense que c'est bon ^^
oui, cette fois ci c'est correct.
