Differentielle precisions et ambiguité
Bonjour,
Je me suis attaqué aux différentielles, et travaillant tout seul, j'aurais besoin d'un coup de patte
Je commence par la définition: (de R² dans R)
L'application linéaire de R² dans R nous est donnée par :
u=(a,b)
h=(α,β)
dƒu(h)=α(δƒ/δx)(u)+β(δƒ/δy)
jusque là ça va
ensuite y'a une petit note dans la marge qui dit :
Etant donné h=(α,β)
dx(h)=α
dy(h)=β
ce qui nous donne:
dƒu=(δƒ/δx)(u)dx+(δƒ/δy)dy
(donc c'est une fonction de R² dans R jusqu'à preuve du contraire)
Sachant que :
f étant de classe C1 sur U (u€U)
ƒ(a+α,b+β)=ƒ(a,b)+α(δƒ/δx)(u)+β(δƒ/δy)+o(II h II)
Tout ça c'est ce que j'ai à peu près compris
Quand je vais sur Wikipédia je lis (définition de la différentielle):
En analyse fonctionnelle et vectorielle, on appelle différentielle d'ordre 1 d'une fonction en un point a la partie linéaire de l'accroissement de cette fonction entre a et a + h lorsque h tend vers 0
Mais là, h n'a pas besoin de tendre vers 0 pour que l'on obtienne la différentielle non ? (A moins que il soit sous entendu que nous sommes dans le cas d'une fonction de R dans R ?)
Ensuite, là où je ne suis plus sûr de comprendre, c'est quand on parle de quantité infinitésimale df,dx,dy
df étant une fonction, dx et dy aussi, comment des fonctions deviennent des quantités infinitésimales ?
N'y a t-il pas un abus de notation ?
Autrement dit:
avec ƒ(a+α,b+β)=ƒ(a,b)+α(δƒ/δx)(u)+β(δƒ/δy)+o(II h II)
On prend h->0
α devient dx (pour dire que α est infiniment petit)
β devient dy
o(II h II) disparaît car très petit
ƒ(a+dx,b+dy)-ƒ(a,b) devient df (dans le sens où il s'agit d'une très petite variation de f) qui coïncide alors avec la définition (dfu) quand h est très petit (par un tour de passe passe, dfu s'identifiant à df) soit:
df=ƒ(a+dx,b+dy)-ƒ(a,b)=dfu=(δƒ/δx)(u)dx+(δƒ/δy)dy
Ce qui aurait pour le physicien et le mathématicien une signification différente.
Pourriez-vous me confirmer le raisonnement svp ?
d'avance merci pour votre patience de me lire et me répondre,
Fred
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