Développement limité

invite27595faf · 01/07/2009, 16h52

Bonjour à tous, je suis en licence eco-gestion en cours par correspondance (avec le Cned) et non seulement nos cours ne sont pas très bien fait mais surtout les profs ne nous répondent jamais.

J'en vient donc demander de l'aide ici car j'ai des rattrapages dans pas longtemps.

J'ai du mal avec cet exercice :

Soit f(x)=(x-1) exp (1/x)
1) Donner un DL d'ordre 2 de f(x)/x au voisinage de +¤¤

Au départ je pose h=(1/x) (si x est voisin de plus l'infini, h est voisin de 0+)
Donc f(1/h) = (1/h - 1) exp (h)

f(x)/x = hf(1/h) = (1 - h) exp (h2) = (1-h)eh2

Et à partir de là que faut-il faire ? Je pense qu'il faut calculer les DL d'orde 2 de (1-h) et de eh2 mais je ne vois pas comment faire exactement.

En vous remerciant par avance,
Oursonn.

invited4d4f0d4 · 01/07/2009, 17h26

salam oursonn, je pense que le dvp limité de ton expression se fait tout d 'abord par un dvp asymptotique et voila comment tu fais pour la démarche, mais , je te conseille de la vérifier...peut être ce n est pas la seule ou la bonne réponse !!!
on pose x=1/t et g(t)=t f(1/t)
g(t)=......=(1-t)e^t
on fait dvp d exponentielle d ordre 3
=(1-t)(1+t+t^2 /2 +°(t^3))
=....=1-t^2 /2 - t^3 /2 +°(t^3)
puis on calcul f(1/t) et on remplace 1/t par x
et tu auras DL de f(x).

invite392a8924 · 01/07/2009, 18h17

Envoyé par oursonn

.

salam,salut.

Dans cet exo.on demande le D.L .d'ordre 2 lorsque h tend vers 0
de la fonction $\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$

pour cette raoson on utilise le D.L. de $\text{[math]}$ au voisinage de 0 d'ordre 1

i.e. $\text{[math]}$

donc la fonction g(h) sera au voisinage de 0

$\text{[math]}$

merci et bonne chance.

invite27595faf · 01/07/2009, 19h05

pour cette raison on utilise le D.L. de au voisinage de 0 d'ordre 1

i.e. $e^{h}=1+\frac{h}{1!}+o(h)$

Pourquoi d'ordre 1 et non d'ordre 2 puisque dans l'énoncé on me demande le D.L. d'ordre 2 de f(x)/x au voisinage de +¤¤ ?

Et aussi pourquoi eh et non eh2 (soit ehcarré) comme je le calcule précédemment ?

Et enfin pourquoi suffit il de calculer eh (ou eh2), ne faut-il pas faire la même chose avec (1-h) ?
Autant je sais faire avec eh (ou eh2 donc) autant je ne sais pas comment faire avec (1-h).

Merci infiniment d'avance si tu prend la peine de répondre à mes questions, je sais j'en demande beaucoup !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite392a8924 · 01/07/2009, 19h14

Envoyé par oursonn

Pourquoi d'ordre 1 et non d'ordre 2 puisque dans l'énoncé on me demande le D.L. d'ordre 2 de f(x)/x au voisinage de +¤¤ ?

Et aussi pourquoi eh et non eh2 (soit ehcarré) comme je le calcule précédemment ?

Et enfin pourquoi suffit il de calculer eh (ou eh2), ne faut-il pas faire la même chose avec (1-h) ?
Autant je sais faire avec eh (ou eh2 donc) autant je ne sais pas comment faire avec (1-h).

Merci infiniment d'avance si tu prend la peine de répondre à mes questions, je sais j'en demande beaucoup !

salut,
regarde ,on fait le developpement de $\text{[math]}$ à l'ordre 1 pour obtenir l'ordre 2 qui nous interesse de la fonction finale.

autre chose, quand tu devise la fonction $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ tu trouve $\text{[math]}$ multiplie par $\text{[math]}$ est non pas $\text{[math]}$ .

je pense que j'ai reusi pour te repondre.

cordiallement.

**Garf** · 01/07/2009, 20h13

D'abord, je rectifie un petit point de notation (sûrement une typo) : on n'a pas g(x)=f(x)/x avec les manipulations faites pour Oursonn.

On pose
$\text{[math]}$
Trouver un DL à l'ordre 2 de g en 0 revient à trouver un DL à l'ordre 2 de f(x)/x en l'infini.

Ensuite, comme l'a dit Oursonn, on a bien
$\text{[math]}$
Essaie de le retrouver, mais c'est un changement de variables pas bien méchant (il n'y a aucune raison pour que l'on voie apparaître un carré ici).

Enfin, il faut faire un DL de l'exponentielle à l'ordre 2 ! Un DL à l'ordre 1 de l'exponentielle aurait été suffisant si l'on avait voulu un DL à l'ordre 2 de $\text{[math]}$ , mais ce n'est pas le cas... On a donc en 0 (je détaille pas mal) :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Valà.

invite392a8924 · 01/07/2009, 21h13

Envoyé par Garf

D'abord, je rectifie un petit point de notation (sûrement une typo) : on n'a pas g(x)=f(x)/x avec les manipulations faites pour Oursonn.

On pose
$\text{[math]}$
Trouver un DL à l'ordre 2 de g en 0 revient à trouver un DL à l'ordre 2 de f(x)/x en l'infini.

Ensuite, comme l'a dit Oursonn, on a bien
$\text{[math]}$
Essaie de le retrouver, mais c'est un changement de variables pas bien méchant (il n'y a aucune raison pour que l'on voie apparaître un carré ici).

Enfin, il faut faire un DL de l'exponentielle à l'ordre 2 ! Un DL à l'ordre 1 de l'exponentielle aurait été suffisant si l'on avait voulu un DL à l'ordre 2 de $\text{[math]}$ , mais ce n'est pas le cas... On a donc en 0 (je détaille pas mal) :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Valà.

salut
en théorie d'analyse ,nous avons etudieé un théoreme fondamental
qui nous dit ,si nous avons une fonction g(x) dont elle contienne des fonctions élémentaires comme $\text{[math]}$ alors si on a developper $\text{[math]}$ en D.L. d'ordre k, on doit suivre le meme ordre de D.L.pour toute les fonctions $\text{[math]}$ .

car si c'est le contraire,le résultat final est en défaut.

merci et bonne chance.

**Garf** · 01/07/2009, 23h28

Oui, mais non. Et je ne me suis pas planté dans ce que j'ai dis précédemment.

Je recommence.

Supposons que l'on ait par exemple (ce que je dis est valable à tout ordre) $\text{[math]}$ . Alors on a $\text{[math]}$ ; on peut voir le $\text{[math]}$ comme une fonction de $\text{[math]}$ , définie sur le même ensemble de $\text{[math]}$ , et négligeable par rapport à $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ .
A partir de là, on a (formellement) $\text{[math]}$ , et plus généralement $\text{[math]}$ .

Par conséquent, si je veux un DL à l'ordre 2 de $\text{[math]}$ , il me suffit d'avoir un DL à l'ordre 1 de $\text{[math]}$ .

D'autre part, si je veux un DL à l'ordre 2 de $\text{[math]}$ , il me faut additionner un DL à l'ordre 2 de $\text{[math]}$ et un DL à l'ordre 2 de $\text{[math]}$ . Ton théorème dit cela, rien de plus (et certainement pas que toutes les fonctions élémentaires doivent êtres élevées au même ordre* !).

Donc :
- n'espère pas obtenir un DL à l'ordre 2 de $\text{[math]}$ en additionnant un DL à l'ordre 1 de $\text{[math]}$ et un DL à l'ordre 2 de $\text{[math]}$ , comme tu l'as fait !
- comme je peux obtenir un DL à l'ordre 2 de $\text{[math]}$ à partir d'un DL à l'ordre 1 de $\text{[math]}$ , je ne vais pas chercher plus loin (l'économie de calcul est le meilleur moyen de en pas se tromper quand on fait des DL à la main). Cependant, la première exponentielle soit toujours être développée à l'ordre 2.

Valà.

* Ce qui marche si elles sont développées à un ordre suffisamment grand (ici, développer toutes les exponentielles à l'ordre 2 aurait suffit à trouver le résultat), mais est franchement mauvais du point de vue de l'efficacité des calculs...

invite392a8924 · 02/07/2009, 11h50

salut,

je doit signaler que le principe est de développé seulement e^h en D.L. d'ordre 1, puisque cette quantoté est multipliée par le facteur (1-h)ce qui te donne si tu voit bien , un D.L. d'ordre 2,la raison qu'on a utilisé ce raisonement c'est que le facteur (1-h) reste inchangé ,le seul terme qui doit etre dévélopper en D.L. est e^h.

le théoreme qu'on a citer , represente un apariel fondamental danalyse mathématique.

merci et bonne chance.

**breukin** · 02/07/2009, 12h48

Au départ, je pose h=1/x (si x est voisin de plus l'infini, h est voisin de 0+)
Donc f(1/h) = (1/h – 1).exp(h) (correct)
f(x)/x = hf(1/h) = (1–h).exp(h2) = (1-h)eh2

Pourquoi 2 ? Au carré ? Erreur !

Donc puisque exp(h)=1+h+h²/2+o(h²), on a f(h)=1–h²/2+o(h²)

Remarque : 1–h est déjà un DL à l'ordre 2 dont le terme en h² est nul et dont le o(h²) est la fonction nulle ! On multiplie deux DL à l'ordre 2.

**Garf** · 02/07/2009, 13h36

Envoyé par lobachevsky

salut,

je doit signaler que le principe est de développé seulement e^h en D.L. d'ordre 1, puisque cette quantoté est multipliée par le facteur (1-h)ce qui te donne si tu voit bien , un D.L. d'ordre 2,la raison qu'on a utilisé ce raisonement c'est que le facteur (1-h) reste inchangé ,le seul terme qui doit etre dévélopper en D.L. est e^h.

le théoreme qu'on a citer , represente un apariel fondamental danalyse mathématique.

merci et bonne chance.

1) Dans le cas général, quand on multiplie un DL à l'ordre n par un DL à l'ordre m, le résultat n'est pas un DL à l'ordre n+m ; c'est un DL à l'ordre inf(n,m). Pareil quand on additionne les DL. En particulier, quand tu multiplies (1-x) par un DL à l'ordre 1, tu ne peux pas espérer obtenir un DL à l'ordre 2. Une exception est ce que j'ai expliqué dans mon précédent message (quand on multiplie un DL à l'ordre n par x^m, on obtient un DL à l'ordre n+m).

2) Je te conseille fortement de relire ton cours (le théorème auquel tu penses doit être tourné différemment : sinon, il est au mieux inefficace, au pire faux) et de retravailler les DL.

invite27595faf · 02/07/2009, 13h56

Merci à tous !
Tout d'abord j'ai effectivement fait une erreur stupide avec mon carré : je suis en licence eco-gestion et ça fait super longtemps que je n'ai pas fait de maths...

Vous m'avez tous aidé, mais merci surtout à Garf dont les explications sont vraiment très clair et m'ont permis de comprendre facilement.

J'ai des rattrapages bientôt et dans l'examen de Math on a automatiquement un exercice sur les DL (qui n'est jamais plus compliqué que l'exemple ici) noté sur 5. Donc encore une fois, merci à tous, vous venez de m'assurer 5 points au prochain examen !

invite27595faf · 02/07/2009, 16h18

Ok, en fait non je n'ai pas tout compris...

Je galère avec l'exercice suivant exactement du même type :

Soit f(x)=(x-2)exp(1/2x)
1) Donner un DL d'ordre 2 de f(x)/x au voisinage de +¤¤

Voici ce que je ferais :

Posons h = 1/x.
f(1/h) = (1/h - 2)exp(h/2)

f(x)/x = hf(1/h) = (1 - 2h)exp(h/2) = (1-2h)e(h/2)

Ensuite je fait le DL d'orde 2 de e(h/2)
e(h/2) = 1 + h/2 + hcarré/8 + 0(hcarré)

Jusque là c'est bon ?
Et là je fait quoi ? e(h/2) -2he(h/2) ?

Or pour -2he(h/2) c'est -2h (1 + h/2 + hcarré/8 + 0(hcarré)) ?
Ou il faut prendre le DL 1 et non le DL 2 ? (si c'est le cas, pourquoi ?)
Ce qui donnerait -2h (1 + h/2 + 0(h)) = -2h -hcarré + 0(hcarré)
C'est bon jusque là ?

Si oui il suffirait ensuite de faire e(h/2) -2he(h/2) = 1 + h/2 + hcarré/8 + 0(hcarré) -2h -hcarré + 0(hcarré) = 1 - (3h)/2 - (7hcarré)/8 + 0(hcarré)

J'ai bon ?

Ah et sinon les jolies formules sous forme d'image vous les faites comment ?

Merci beaucoup !

**breukin** · 02/07/2009, 16h55

Jusque là c'est bon ?
Et là je fait quoi ?

Oui, et tu développes directement (1–2h).(1+h/2+h²/8+o(h²))
soit 1+h/2+h²/8–2h–h²+o(h²) = 1–3h/2–7h²/8+o(h²)

invite392a8924 · 02/07/2009, 17h06

Envoyé par Garf

1) Dans le cas général, quand on multiplie un DL à l'ordre n par un DL à l'ordre m, le résultat n'est pas un DL à l'ordre n+m ; c'est un DL à l'ordre inf(n,m). Pareil quand on additionne les DL. En particulier, quand tu multiplies (1-x) par un DL à l'ordre 1, tu ne peux pas espérer obtenir un DL à l'ordre 2. Une exception est ce que j'ai expliqué dans mon précédent message (quand on multiplie un DL à l'ordre n par x^m, on obtient un DL à l'ordre n+m).

2) Je te conseille fortement de relire ton cours (le théorème auquel tu penses doit être tourné différemment : sinon, il est au mieux inefficace, au pire faux) et de retravailler les DL.

salutation,

je doit te donner ce consiel,

en mathématiques ,on a pas ce tu l'appelle mieux inefficace...c'est vraimant dépaser de dire ça ,quand la théorie mathématique est devenue comme blague.

regarde bien , les mathématiciens ,et d'apres les sciecles ont toujours posés des questions pour obtenir des réponses,non de dire du n'importe quoi...

Pour que tu puisse enrichire ta reference mathématique tu peut ""conseil"" consulter la reference russe suivante::

cours de mathématiques supérieures -Vladimir Smirnov -eddition Mir -Moscou

merci.

invite27595faf · 02/07/2009, 20h11

Merci à tous !

Jusqu'a présent je ne venais sur futura science que parce que les articles science m'intéressait mais finalement même le forum est génial !

Développement limité