Bonjour,
quelqu'un pourrait il m'expliquer quelle est la difference entre une solution locale et une solution globale d'une equation aux derivee partielles (par exemple dans le cas d'une equation parabolique)?
Et quelles sont des exemples d'arguments necessaires pour prouver l'existence d'une solution globale connaissant l'existence d'une solution locale? je suis perdu...
Merci
Salut,
Pour les edps quand on parle de slns globales ou locales c'est à ma connaissance par rapport au temps.
On a des solutions locales, si démontre qu' il existe T>0 et une solution qui est défini sur un intervalle (0,T). On a généralement des minorations de T en fct de la régularité des coefs de l'edp.
On a des solutions globales, si démontre qu'il existe T>0 et une solution qui est défini sur un intervalle (0,T), et que soit T=+infini, soit la solution ne peut pas etre prolongé au dela de T.
C'est comme pour les edo, avec le theorme de Gauchy lipschitz, sauf que c'est par rapport a une variable qui est le temps.
merci sadben pour ces precisions, j'y vois un peu plus clair maintenant...
A la maniere du theoreme de Cauchy-Lipschitz, est ce que l'existence d'une solution locale + une condition de non explosion en temps fini du genre:
permet de statuer sur l'existence d'une solution globale sur?
Oui sauf que les critères d'explosions peuvent être plus compliqués, à mon avis il y a 2:
- Explosion d' une norme (de sobolev) pour la solution et/ou perte de régularité.
- La solution ne reste pas dans un compact (de l 'ensemble d'état), par exemple la limsup tend vers l' infini, ou que la solution tend vers une valeur non physique (0 pour une masse par exemple... etc)
Car généralement pour les preuves d'existence en temps petit on a besoin de régularité pour la cd initiale et aussi de pourvoir travailler sur des compacts.
Tout ca est trés grosso modo, d'après mes connaissance en systeme hyperbolique, je sais pas si d' autres phénomènes peuvent être rencontrés pour les eqn elliptique ou parabolique ?
salut ,
bon j'ai presque le méme probléme mais moi j'ai la solution local (l'existence et lunicité) pour une EDO et je cherche la solution global (existence et unicité) peut on m'aider !!!
merci jattend votre réponse
