Bonjour,
Un ensemble A est dit "ouvert" lorsque chacun de ses points est un point intérieur (càd tout point appartenant à A appartient également à un intervalle ouvert inclus dans A).
Or, on désigne également comme "ouvert" les ensembles composant une topologie. Est-ce que cela signifie que tout ensemble composant une topologie est nécessairement un ouvert?
Merci!
Salut,Envoyé par Bounet
les ensembles appartenant à la famille"une topologie" sont dits "ouverts'
Donc, donner un espace topologique, c'est donner un ensemble X et dans cet ensemble donner une topologie
Pour faire le lien entre la définition que tu connais d'un ouvert, et l'élément d'une topologie, il faut que tu examines les propriétés qui définissent une topologie (tout sous-ensemble de parties d'un ensemble X ne forme pas une topologie pour X !), et d'arriver à te convaincre que c'est la même chose
il faut bien comprendre que la notion d'intériorité est en fait dépendante du choix de la topologie, et que ce n'est pas forcément l'intériorité au sens ou on l'entend la première fois que l'on définit un ouvert dans R par exemple ("ya des points partout autour")
salut,
si tu veux , il ya un livre tres important, pour bien comprendre toutes ces qustions et d'autres:
Eléments de la théorie des fonctions et d'analyse fonctionnelle .
André Kolmogoroiv et Sérgui Fomine -Eddition Mir-Moscou.
Viel Gluck.
Merci pour ta réponse,Pour faire le lien entre la définition que tu connais d'un ouvert, et l'élément d'une topologie, il faut que tu examines les propriétés qui définissent une topologie (tout sous-ensemble de parties d'un ensemble X ne forme pas une topologie pour X !), et d'arriver à te convaincre que c'est la même chose
il faut bien comprendre que la notion d'intériorité est en fait dépendante du choix de la topologie, et que ce n'est pas forcément l'intériorité au sens ou on l'entend la première fois que l'on définit un ouvert dans R par exemple ("ya des points partout autour")
Je comprends ton allusion aux propriétés d'une topologie, à savoir la stabilité par réunion quelconque et la stabilité par intersection finie. Seuls des ouverts sont à même de respecter ces deux propriétés (si je me trompe, il ne faut pas hésiter à me le dire).
Cela dit, tu ne réponds pas la question: l'ouvert d'une typologie est-il toujours l'ouvert au sens d'un ensemble dont chaque point est un point intérieur?
Merci
La réponse est oui, une partie est ouverte si et seulement si elle est égale à son intérieur.
Le sens de ma remarque était de te faire remarquer que la notion d'intériorité dépend de la topologie, et c'est justement ça qui fait que cette propriété est vraie, mais qui rend la notion d'être "intérieur" moins concrète et visuelle en général que dans la topologie usuelle de R.
Ce qu'il faut bien comprendre, c'est qu'une topologie (et donc la notion d'ouvert) n'est pas quelque chose d'intrinseque a un espace, mais c'est quelque chose que tu rajoutes dessus.
Autrement dit, suivant la topologie que tu choisis, un meme sous ensemble peut etre ouvert ou non.
Donc quand tu dis
Ca n'est ni vrai ni faux, l'idée c'est que quand tu veut definir une topologie, tu exiges, comme condition, que l'ensemble des ouverts verifie ces conditions.Seuls des ouverts sont à même de respecter ces deux propriétés
De la meme maniere, la reponse a la question
Est trivialement "oui", puisque la notion de "point interieur" depend de la topologie que tu choisis.l'ouvert d'une typologie est-il toujours l'ouvert au sens d'un ensemble dont chaque point est un point intérieur ?
