Une "fonction" étrange

[Coco44]

Bonjour / bonsoir,

L'autre soir en essayant de dormir, j'ai essayé de trouver une méthode pour calculer les racines carrées à la main (chacun son truc...).
Comme j'étais déjà dans mon lit, mes idées n'étaient pas très claires et je suis parti sur une fausse piste, qui s'est révélée être... intéressante.
Voici ma "logique" :

Je cherche la racine de 10.
Je sais que fait 9, mais que fait 16 (trop grand).
Donc je commence avec un 3.
.
Je cherche la première décimale, je multiplie donc le reste par 10 : .
De même, fait 9 et fait 16... Je prend 3.

... et ainsi de suite, j'en arrive à 3.333333... qui est tout sauf la racine de 10
Seulement, quand on prend les chiffres un à un et qu'on les élève au carré, on obtient : 9.99999... qui vaut bien 10.

J'ai appliqué cet algorithme pour tous les entiers de 0 à 10 et j'obtiens :

 0 : 0
 1 : 1
 2 : 1.33333...
 3 : 1.46666...
 4 : 2
 5 : 2.33333...
 6 : 2.46666...
 7 : 2.57333...
 8 : 2.66666...
 9 : 3
10 : 3.33333...

... ce qui fait une jolie courbe en "saut de puce" :


A noter que cette fonction est définie sur R. En calculant les valeurs entre 0 et 1 par pas de 0.1, on retrouve ce "saut de puce" (et par pas de 0.05, ça coince, cf. la suite)... Je suppose qu'il en va de même entre 0 et 0.1 par pas de 0.01, et ainsi de suite. C'est donc une fractale ?

Notons cette fonction , et appelons l'ensemble des entiers dont la racine est entière.
On remarque déjà plusieurs "propriétés" :

• si .
• Si , alors pour tout tel que , (on voit un motif qui se répète après la virgule).
• On sent bien que F est discontinue pour tout .
• On peut penser qu'elle est continue sur tout ce qui reste de R.

Le lendemain j'ai écrit un programme pour calculer plus de valeurs (à la main c'est fatiguant... même si c'était le but ), et j'ai été surpris de voir des erreurs apparaitre à partir de !

Testez vous-même :
et , on prend 3, reste .
et , on prend 7, reste .
... et on ne peut pas aller plus loin. Admettons : on prend 9, reste ...
Problème : le reste "augmente" petit à petit, et on ne peut rien faire pour l'en empêcher.

... sauf si on se permet de prendre des "chiffres" plus grands que 9 !

Allons y, pour voir...
Le début ne change pas :
et , on prend 3, reste .
et , on prend 7, reste .
, , , on prend 10, reste .
, on a terminé : F(15) = "3. 7 10 10", autrement dit "3.7aa".

Grâce à cette astuce, j'ai réussi à calculer .
... et je tombe à cours de symbole pour 3967.

Je suppose que tout ça manque un peu de rigueur... je mélange les bases allègrement.
J'aurai peut être dû m'arrêter à 15...

Quoi qu'il en soit, est-ce que cette "fonction" vous dit quelque chose ?
Que représente cette suite :

u0 = 0.0000                       = 000/300 ( = sqrt(0)/3 )
u1 = 0.3333 = 1/3                 = 100/300 ( = sqrt(1)/3 )
u2 = 0.4666 = 2/5 + 2/30 = 14/30  = 140/300
u3 = 0.5733 = 1/2 + 7/100 + 1/300 = 172/300
u4 = 0.6666 = 2/3                 = 200/300 ( = sqrt(4)/3 )
u5 = 0.7333 =  7/10  + 1/30       = 220/300

... et qu'a-t'on après u5 ?

PS : Une fois avoir mis en place l'astuce des "bases", j'ai donc calculé F(x) jusqu'à x = 3966, puis converti les résultats en base 10, en supposant que ceux-ci étaient écrits en base 36 (les 10 chiffres plus les 26 lettres de l'alphabet) : les curieux pourront voir >> ici << le résultat dessiné sous Open Office.
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[Coco44]

Bon, je n'arrive plus à éditer mon message...

Je voulais juste corriger :
J'arrive à calculer (j'avais oublié le "m" dans ma table de symboles, j'étais donc en base 35 au lieu de 36).

[Coincoin]

Salut,

Je cherche la racine de 10.
Je sais que fait 9, mais que fait 16 (trop grand).
Donc je commence avec un 3.
.
Je cherche la première décimale, je multiplie donc le reste par 10 : .
De même, fait 9 et fait 16... Je prend 3.

Tu es en train de dire que ...

[Coco44]

Oui je sais bien Je rappelle que j'étais en train de me coucher à ce moment là...
Mais ça n'est pas la question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

F(15) = "3. 7 10 10", autrement dit "3.7aa".

En fait, prend un entier et renvoie quoi ? Un entier ou une suite d'entiers ??

[erik]

L'autre soir en essayant de dormir, j'ai essayé de trouver une méthode pour calculer les racines carrées à la main (chacun son truc...).

La méthode existe : http://pagesperso-orange.fr/therese....nc.htm#zerobis

[Coco44]

En fait, prend un entier et renvoie quoi ? Un entier ou une suite d'entiers ??

prend un réel (pas forcément entier) et renvoie... une suite d'entier, ou un réel dans une base... pas très bien définie .

La méthode existe : http://pagesperso-orange.fr/therese....nc.htm#zerobis

Ah merci ! (11-13 ans, arf, on ne m'a jamais appris ça, moi qui ai 20 ans...).

[erik]

Ah merci ! (11-13 ans, arf, on ne m'a jamais appris ça, moi qui ai 20 ans...).

Ben on apprenait ça aux élèves avant que les calculatrices apparaissent, après on a arrêté de les torturer avec ce genre de calcul. Moi perso c'est mon père qui m'a appris le truc, et je pense qu'aucun de mes profs de math ne le connaissait (d'un autre coté, mis à part pour le fun, connaitre cette manip a peu d'intérêt)

[sadben2004]

La méthode existe : http://pagesperso-orange.fr/therese....nc.htm#zerobis

UNE méthode existe.

Mais coco ne cherche plus a calculer la racine carré; mais plutot à etudier la fonction etrange qu'il viens d "inventer"

[invite0fb72cf8]

Le lendemain j'ai écrit un programme pour calculer plus de valeurs (à la main c'est fatiguant... même si c'était le but ), et j'ai été surpris de voir des erreurs apparaitre à partir de !

Si je ne me trompe pas, tu étudies . Ensuite, tu essayes d'interprèter les comme des symboles d'un développement en base 10. Pour cela, le mieux, c'est d'utiliser:

Avec la définition de F(x) que je t'ai donné ici, tu n'as pas besoin de passer dans une autre base (ce qui, au passage, n'a pas vraiment de sens mathématiquement).

Ceci dit, je ne vois pas très bien où ça va te mener

A+

Ising

ps: et au passage, penser aux maths pour essayer de s'endormir, c'est le meilleur moyen de faire une insomnie...

Maintenant, je sais pas si tu vas tirer grand chose d'intéressant de ça

[Coco44]

Si je ne me trompe pas, tu étudies . Ensuite, tu essayes d'interprèter les comme des symboles d'un développement en base 10. Pour cela, le mieux, c'est d'utiliser:

Avec la définition de F(x) que je t'ai donné ici, tu n'as pas besoin de passer dans une autre base (ce qui, au passage, n'a pas vraiment de sens mathématiquement).

Hum, quand j'essaye ta définition, j'obtiens une série divergente... c'est bien la partie entière ? Et quand tu note , c'est " puissance n" ou "la dérivée n-ièmme de " ?

Ceci dit, je ne vois pas très bien où ça va te mener

Moi non plus mais c'est ça qui est intéressant !

[invite0fb72cf8]

Et quand tu note , c'est " puissance n" ou "la dérivée n-ièmme de " ?

Argh, non, désolé, j'ai pas été très clair. C'est n compositions de f.



A+

Ising

[Coco44]

Je vois. Ce que tu veux dire, c'est que lorsque je rencontre un "chiffre" supérieur à neuf, je l'ajoute simplement (par exemple pour 10, j'augmente le chiffre précèdent de 1 et je met l'actuel à 0).

Ça me donne une autre fonction, qui me permet effectivement de continuer la suite :

u0  = 0.0000
u1  = 0.3333
u2  = 0.4666
u3  = 0.5733
u4  = 0.6666
u5  = 0.7333
u6  = 0.8100
u7  = 0.8809
u8  = 0.9332
u9  = 0.9999
u10 = 1.0000
u11 = 1.1000
u12 = 1.1466
u13 = 1.1999
u14 = 1.2451
u15 = 1.2810
u16 = 1.3332
u17 = 1.3333
u18 = 1.4103
u19 = 1.4523
u20 = 1.4666
u21 = 1.5244
u22 = 1.5627
u23 = 1.5733
u24 = 1.6280
u25 = 1.6665
u26 = 1.6666
u27 = 1.7244
u28 = 1.7627
u29 = 1.7333
u30 = 1.8100
u31 = 1.8523
u32 = 1.8851
u33 = 1.8809
u34 = 1.9332
u35 = 1.9666
u36 = 1.9998
u37 = 1.9999

... suite qui colle relativement bien avec :


PS : pour calculer ma fonction j'ai utilisé :
avec et