volume d'un solide avec intégrales
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 6 sur 6

volume d'un solide avec intégrales



  1. #1
    invite7a09cace

    volume d'un solide avec intégrales


    ------

    Bonjour à tous, j'ai un problème concernant le volume d'un solide délimité par les graphs des équations 6z=x2+y2, z=2 et x2+y2=10x. il faut que j'utilise les coordonnées polaires (cylindriques). Je veux résoudre le tout avec une intégrale triple mais je ne sais pas comment poser mes bornes. merci beaucoup!

    -----

  2. #2
    Universus

    Re : volume d'un solide avec intégrales

    Ta première équation correspond à un paraboloïde centré en (0,0) et orienté vers le haut, la seconde à un plan parallèle au plan XY qui coupant l'axe des Z en z=2, la dernière équation correspondant au disque délimité par le cercle centré en (x,y) = (5,0) et de rayon r=5. Pour utiliser les coordonnées polaires, tu dois donc considérer la variable donc la valeur minimale est de 0 peu importe l'angle que tu utilises pour complètement préciser les coordonnées d'un point P(x,y) du plan XY (dans le disque).

    Tu sais que si , alors (le diamètre du cercle). Plus généralement, pour un angle , tu auras . Ainsi, . Quant au z évalué en un point P(x,y), il va de z = r^2/6 à z=2. Tu connais ainsi les bornes à utiliser.

  3. #3
    invite7a09cace

    Re : volume d'un solide avec intégrales

    Merci beaucoup pour ton aide...
    Donc les bornes seront
    r= 0 à 10
    teta=-pi/2 à pi/2
    z= r exp(2/6) à 2
    et j'intègre 1 pour un volume...

  4. #4
    Universus

    Re : volume d'un solide avec intégrales

    Citation Envoyé par chester rdl Voir le message
    Merci beaucoup pour ton aide...
    Tu n'en as pas l'air sûr

    Je n'ai peut-être pas été assez clair, je vais donc ré-expliquer. La première équation indique un paraboloïde circulaire (c'est-à-dire que si tu coupes la forme avec un plan normal au plan XY, la coupe du paraboloïde sera une parabole, circulaire parce que si tu coupes selon un plan parallèle au plan XY, tu auras un cercle) centré en (x,y) = (0,0) (donc le point le plus bas du paraboloïde touche le plan XY en son origine).

    La seconde équation correspond à un plan parallèle au plan XY qui coupe l'axe des Z en z=2.

    La troisième équation correspond à un cercle centré en (x,y) = (5,0) et de rayon 5. En fait, ce n'est pas tout à fait un cercle, mais plutôt un cylindre vertical dont les tranches horizontales (i.e. parallèles au plan XY) sont des cercles correspondant au cercle ci-dessus.

    Le volume que tu cherches est celui qui se trouve au-dessus de la paraboloïde (tu peux voir la paraboloïde comme un bol remplie d'une certaine quantité d'eau, si on veut user d'une certaine pédagogie ^^), mais en-dessous du plan z=2 (donc l'eau ne monte pas plus haut que z=2). Néanmoins, ce n'est pas toute cette zone que tu cherches à évaluer le volume, mais uniquement celle qui se trouve aussi à l'intérieur du cylindre. En d'autres termes, le volume qui t'intéresse est l'intersection des ensembles ''points au-dessus de la paraboloïde'', ''points en-dessous du plan z=2'' et ''points à l'intérieur du cylindre''.

    Pour connaître quel est le domaine du volume qui t'intéresse, la zone qui peut t'intéresser est celle du cylindre, car il n'y a que le cylindre qui, une fois projeté en entier sur le plan z=0 (plan XY) soit compact, c'est-à-dire de taille finies.

    Ainsi, l'ensemble des points (x,y) qui t'intéresse se trouve dans le cercle. Tu ne peux pas dire que r va de 0 à 10 ; cela n'est vrai que si tu considère les points qui sont sur l'axe des X. Autrement, si tu dessines le cercle plus haut, tu verras que un point sur la circonférence du cercle n'est pas à une distance constante de l'origine, mais dépend de l'angle selon la formule que je t'ai donnée.

    Pour en z, bien maintenant seuls le paraboloïde et le plan t'intéresse.

    V =

    avec dV exprimé avec dz en premier, suivi de dr suivi de dtheta (avec les autres variables en plus qui permettent d'exprimer dV correctement en fonction de dz dr dtheta.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Universus

    Re : volume d'un solide avec intégrales

    On devrait lire

    Citation Envoyé par Universus Voir le message
    V =
    Remarque que cela revient au même que de dire, étant donné la symétrie de la situation :

    V =

  7. #6
    invite7a09cace

    Re : volume d'un solide avec intégrales

    D'accord sa marche, merci beaucoup mon ami...

Discussions similaires

  1. [thermodynamique] Pression d'un solide - enthalpie d'un solide
    Par invite70d5c573 dans le forum Physique
    Réponses: 1
    Dernier message: 24/05/2009, 15h16
  2. volume d'un solide de révolution
    Par invite30975e1d dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 9
    Dernier message: 17/01/2009, 23h46
  3. volume de solide
    Par sannassay dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 19/05/2008, 11h20
  4. Volume d'un solide quelconque.
    Par philname dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 26/05/2007, 11h31
  5. Volume du solide de révolution
    Par inviteb8c83e21 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 08/05/2005, 18h26