Bonjour à tous, j'ai un problème concernant le volume d'un solide délimité par les graphs des équations 6z=x2+y2, z=2 et x2+y2=10x. il faut que j'utilise les coordonnées polaires (cylindriques). Je veux résoudre le tout avec une intégrale triple mais je ne sais pas comment poser mes bornes. merci beaucoup!
Ta première équation correspond à un paraboloïde centré en (0,0) et orienté vers le haut, la seconde à un plan parallèle au plan XY qui coupant l'axe des Z en z=2, la dernière équation correspondant au disque délimité par le cercle centré en (x,y) = (5,0) et de rayon r=5. Pour utiliser les coordonnées polaires, tu dois donc considérer la variabledonc la valeur minimale est de 0 peu importe l'angle
Tu sais que si
Merci beaucoup pour ton aide...
Donc les bornes seront
r= 0 à 10
teta=-pi/2 à pi/2
z= r exp(2/6) à 2
et j'intègre 1 pour un volume...
Tu n'en as pas l'air sûrEnvoyé par chester rdl
Je n'ai peut-être pas été assez clair, je vais donc ré-expliquer. La première équation indique un paraboloïde circulaire (c'est-à-dire que si tu coupes la forme avec un plan normal au plan XY, la coupe du paraboloïde sera une parabole, circulaire parce que si tu coupes selon un plan parallèle au plan XY, tu auras un cercle) centré en (x,y) = (0,0) (donc le point le plus bas du paraboloïde touche le plan XY en son origine).
La seconde équation correspond à un plan parallèle au plan XY qui coupe l'axe des Z en z=2.
La troisième équation correspond à un cercle centré en (x,y) = (5,0) et de rayon 5. En fait, ce n'est pas tout à fait un cercle, mais plutôt un cylindre vertical dont les tranches horizontales (i.e. parallèles au plan XY) sont des cercles correspondant au cercle ci-dessus.
Le volume que tu cherches est celui qui se trouve au-dessus de la paraboloïde (tu peux voir la paraboloïde comme un bol remplie d'une certaine quantité d'eau, si on veut user d'une certaine pédagogie ^^), mais en-dessous du plan z=2 (donc l'eau ne monte pas plus haut que z=2). Néanmoins, ce n'est pas toute cette zone que tu cherches à évaluer le volume, mais uniquement celle qui se trouve aussi à l'intérieur du cylindre. En d'autres termes, le volume qui t'intéresse est l'intersection des ensembles ''points au-dessus de la paraboloïde'', ''points en-dessous du plan z=2'' et ''points à l'intérieur du cylindre''.
Pour connaître quel est le domaine du volume qui t'intéresse, la zone qui peut t'intéresser est celle du cylindre, car il n'y a que le cylindre qui, une fois projeté en entier sur le plan z=0 (plan XY) soit compact, c'est-à-dire de taille finies.
Ainsi, l'ensemble des points (x,y) qui t'intéresse se trouve dans le cercle. Tu ne peux pas dire que r va de 0 à 10 ; cela n'est vrai que si tu considère les points qui sont sur l'axe des X. Autrement, si tu dessines le cercle plus haut, tu verras que un point sur la circonférence du cercle n'est pas à une distance constante de l'origine, mais dépend de l'angle selon la formule que je t'ai donnée.
Pour en z, bien maintenant seuls le paraboloïde et le plan t'intéresse.
V =
avec dV exprimé avec dz en premier, suivi de dr suivi de dtheta (avec les autres variables en plus qui permettent d'exprimer dV correctement en fonction de dz dr dtheta.
On devrait lire
Remarque que cela revient au même que de dire, étant donné la symétrie de la situation :V =
V =
D'accord sa marche, merci beaucoup mon ami...
