volume de solide

[sannassay]

je recherche de la formule du volume d'un solide de révolution engendré par la rotation du domaine limité par la courbe, l'axe (Ox) et les droites d'equation x=a et x=b autour de l'axe (Oy)
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[invite71a2f53b]

Bonjour à toi aussi,

domaine limité par la courbe

quelle courbe?

[sannassay]

Bonjour à toi aussi,



quelle courbe?

courbe d une fonction numerique continue sur un intervalle [a,b] (je pense que f doit etre aussi bijective)

[sannassay]

courbe d une fonction numerique f continue sur un intervalle [a,b] (je pense que f doit etre aussi bijective)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Salut.

Ce volume vaut:




Tu peux la retenir en considérant un élément de volume dV, constitué d'un disque de rayon f(x), d'épaisseur dx, donc de volume dV=pi.f²(x)dx (que tu intègres).

Cordialement.

[Flyingsquirrel]

Salut

Ce volume vaut:

L'axe de révolution est , pas et, pour le coup, ça complique les choses.

On impose à d'être strictement monotone sur et on note sa bijection réciproque sur cet intervalle. Si est positive et strictement croissante sur , le volume cherché est donné par



Pour montrer cela, on découpe le solide en deux nouveaux solides :

• L'un correspondant à . Le domaine délimité par et est un rectangle de hauteur et de largeur . Le solide de révolution engendré par ce rectangle est un tore de section rectangulaire et de volume (=volume du cylindre d'axe (Oy), de hauteur et de rayon auquel on soustrait le volume du cylindre de même axe et de même hauteur mais de rayon )
  
• L'autre correspondant à . On découpe le volume engendré en "tranches" d'épaisseur . Le volume d'une telle tranche d'ordonnée est . (=volume du cylindre d'axe , de rayon et de hauteur auquel on soustrait le volume du cylindre de même axe et de même hauteur mais de rayon ) On somme tous ces volumes pour ce qui donne .

Au final,



Si est strictement décroissante sur l'intervalle, il faut refaire le raisonnement... Si est négative sur , on peut considérer qui est positive et qui engendre un solide de même volume que . Si n'est pas à signe constant, il faut découper en intervalles où est à signe constant pour pouvoir se ramener aux cas précédents.

[God's Breath]

je recherche de la formule du volume d'un solide de révolution engendré par la rotation du domaine limité par la courbe, l'axe (Ox) et les droites d'equation x=a et x=b autour de l'axe (Oy)

J'aurais dit , pour autant que

[breukin]

Exact !
Chaque tranche entre x et x+dx génère un périmètre 2.pi.x, donc une tranche concentrique de disque de surface 2.pi.x.dx, donc une tranche concentrique de cylindre 2.pi.x.f(x).dx