analyse complexe, résidu

[invited028b400]

Bonjour,

Pouvez vous m'aider sur un exercice ?

Soit f(z)= z² / (1+z^5) et T la frontière du domaine w={z appartenant à l'ensemble C : lzl<R, 0<arg z< 2Pi/5}.
Calculer l'intégrale sur T de f(z) dz et en déduite la valeur de l'intégrale de 0 à +infini de x² / (1+x^5) dx.

Je vous remercie bcp.


J'ai essaié quelque chose, pour la première partie j'ai décomposé T en 2 intégrales.
Int de 0 à R de x² / (1+x^5) dx, puis Int de 0 à 2Pi/5 de f(R*exp(i$))* i*R*exp(i$)) d$ ou $ est noté un angle; et cette 2ème intégrale est égale à 0.

Ensuite Int de R à 0 f(r*exp(i*2Pi/5))* exp(i*2Pi/5)) dr et je trouve que ca tend vers -exp(i*6Pi/5) * Int de 0 à R de x² / (1+x^5) dx.

Les 2 intégrales sont égales à 2*i*Pi*Res(f, exp(i*Pi/5)) ou exp(i*Pi/5) est une singularité simple, mais après je n'arrive pas à calculer le résidu. Pouvez vous m'aider ?

Merci beaucoup
bonne journée
-----

[invitebb921944]

Bonjour,
Si a est un pole simple, il suffit de calculer P(a)/Q'(a) pour avoir ton résidu (ici P(z)=z² et Q(z)=1+z^5)

[invite39cbe40b]

on peut aussi decomposer x^2/(x^5 + 1) en elements simples et en deduir une primitive qui sera une combinaison de ln arctan

[invited028b400]

Merci bcp, je vais essaier ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

on peut aussi decomposer x^2/(x^5 + 1) en elements simples et en deduir une primitive qui sera une combinaison de ln arctan

Un des interêts des fonctions holomorphes est justement d'éviter ce laborieux calcul

[breukin]

Sans se souvenir de la formule du calcul du résidu, on peut se souvenir que l'intégrale reste constante indépendamment du contour, s'il contient les mêmes singularités.
Donc tu prends un contour égal à un petit cercle de rayon epsilon autour du pôle de ta fonction, et tu fais tendre epsilon vers 0, et tu retrouves en fait la formule du calcul du résidu.
Donc ici z = exp(i.pi/5)+ epsilon exp(i$) : $ entre 0 et 2.pi