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Juste un problème de convergence...



  1. #1
    Majesty of Gaia

    Juste un problème de convergence...


    ------

    Bonjour,

    j'ai en fait deux problèmes. Le premier: je voudrais montrer la convergence de la suite (un) définie par: un(x)=(1+x/n)^n.

    Le x étant fixé, je peux le supposer positif si ça peut simplifier la démonstration. En fait, j'en ai déjà une valable, mais elle est plutôt lourde. Beaucoup de majorations et utilisation du binôme de Newton. Mais je voudrais savoir s'il y avait une démo à peu près faisable en Ts, afin de définir la fonction exponentielle. (C'est pour ça que je n'utilise pas exponentielle pour la convergence. Du coup ln non plus).

    Mon second problème, c'est comment justifier que la méthode d'Euler ne converge pas avec l'équation y'=y²+1 (solution,y(x)=tanx) )?
    Je pensais montrer que (Un) définie par récurrence: Un+1=Un+(a/n)(1+U²n) où a >0 (je me place sur l'intervalle [0;a] en fait) diverge, mais je n'y arrive pas. Elle est croissante, mais après je suis bloqué.

    Voilà, merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Ledescat

    Re : Juste un problème de convergence...

    Salut.

    Tu peux essayer de créer une suite (vn) telle que (un) et (vn) soient adjacentes (je n'assure pas que ça soit possible, mais je m'inspire juste de la méthode de Terminale qui détermine que (1+1/n)^n converge).

    Sinon, cela te permettra de montrer une convergence simple de un(x) vers une fonction que t'appelles exp, mais il faut en plus montrer la convergence uniforme sur tout [a,b] si tu veux montrer la continuité de exp.
    (en fait, il faut un peu bricoler au préalable une variante de Un(x) pour cela).
    Cogito ergo sum.

  3. #3
    Majesty of Gaia

    Re : Juste un problème de convergence...

    Merci pour l'idée, je vais essayer.

    Sinon je ne fais qu'introduire la fonction exponentielle par la méthode d'Euler. C'est une construction point par point. La contuinité de la fonction fait plutôt l'objet d'une autre leçon, ici ce qui est important c'est la méthode d'Euler et la résolution de y'=y avec y(0)=1 par cette méthode.

    Mais sinon je suis bien d'accord pour le problème de continuité.

  4. #4
    God's Breath

    Re : Juste un problème de convergence...

    En suivant l'idée de Ledescat, il est possible que les suites et soient adjacentes.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Majesty of Gaia

    Re : Juste un problème de convergence...

    Pour montrer que Vn-Un tend vers 0, ça me paraît encore plus dur!

    Vu comment je galère, je me vois pas mettre cette démo dans la leçon. De plus, j'ai regardé dans les 2 bouquins de Ts que j'ai, ils parlent tous les deux de la suite Un=(1+1/n)^n, mais aucun des deux ne démontre la convergence (en fait ils en parlent même pas, sans transition ils donnent la définition d'exponentielle).

    Je vais me concentrer sur mon deuxième problème qui doit être plus facilement résoluble.

    Merci pour vos propositions et éléments de réponse.

  7. #6
    God's Breath

    Re : Juste un problème de convergence...

    Citation Envoyé par Majesty of Gaia Voir le message
    Vu comment je galère, je me vois pas mettre cette démo dans la leçon. De plus, j'ai regardé dans les 2 bouquins de Ts que j'ai, ils parlent tous les deux de la suite Un=(1+1/n)^n, mais aucun des deux ne démontre la convergence (en fait ils en parlent même pas, sans transition ils donnent la définition d'exponentielle).
    Tu prépares quoi exactement, une leçon de CAPES ?

  8. #7
    Majesty of Gaia

    Re : Juste un problème de convergence...

    Exactement. Je prépare la leçon 81: Exemples d'approximation d'une solution d'équation différentielle par la méhode d'Euler.

    Pour l'instant je n'ai aucune démo car justement la leçon porte sur des exemples. Mais dans le programme il est dit que la construction de la fonction exponentielle point par point doit être faite par la méthode d'Euler.

    Du coup en exemple, je traite l'équation y'=y avec y(0)=1.

    Euler me donne yn=y0(1+a/n)^n sur un intervalle [0;a].

    Du coup, si j'arrive à placer cette démo en Ts elle complèterai ma leçon (qui en plus est plutôt courte).

    Sinon comme je vous l'ai dit j'ai bien une autre démo, et me placer en complémentaire juste à cause de la sémo me gêne un peu. En plus elle est assez lourde, et à se rappeler pour le jour de l'oral... j'imagine même pas.

  9. #8
    God's Breath

    Re : Juste un problème de convergence...

    Citation Envoyé par Majesty of Gaia Voir le message
    Exactement. Je prépare la leçon 81: Exemples d'approximation d'une solution d'équation différentielle par la méhode d'Euler.

    Pour l'instant je n'ai aucune démo car justement la leçon porte sur des exemples. Mais dans le programme il est dit que la construction de la fonction exponentielle point par point doit être faite par la méthode d'Euler.

    Du coup en exemple, je traite l'équation y'=y avec y(0)=1..
    Comme on sait bien que la solution de l'équa diff est l'exponentielle, positive et convexe, la valeur est une approximation par défaut de .
    Il en sera de même, en traitant l'équation avec : la méthode d'Euler fournira la valeur comme approximation par défaut de , donc comme approximation par excès de , d'où mon idée des suites adjacentes.
    Mais je ne vois pas, pour l'instant, comment montrer que la différence tend vers 0.

  10. #9
    Flyingsquirrel

    Re : Juste un problème de convergence...

    Bonjour

    Citation Envoyé par Majesty of Gaia Voir le message
    Le premier: je voudrais montrer la convergence de la suite (un) définie par: un(x)=(1+x/n)^n.

    Le x étant fixé, je peux le supposer positif si ça peut simplifier la démonstration. En fait, j'en ai déjà une valable, mais elle est plutôt lourde. Beaucoup de majorations et utilisation du binôme de Newton. Mais je voudrais savoir s'il y avait une démo à peu près faisable en Ts, afin de définir la fonction exponentielle. (C'est pour ça que je n'utilise pas exponentielle pour la convergence. Du coup ln non plus).
    La même question a été traitée dans ce fil et la réponse donnée au message #7 à l'air abordable en Terminale. Ça correspond peut-être à la méthode "plutôt lourde" et avec "beaucoup de majoration et utilisation du binôme de Newton" mais dans le doute...

  11. #10
    God's Breath

    Re : Juste un problème de convergence...

    Citation Envoyé par Majesty of Gaia Voir le message
    Mon second problème, c'est comment justifier que la méthode d'Euler ne converge pas avec l'équation y'=y2+1 (solution,y(x)=tanx) )?
    Je pensais montrer que (Un) définie par récurrence: Un+1=Un+(a/n)(1+U2n) où a >0 (je me place sur l'intervalle [0;a] en fait) diverge, mais je n'y arrive pas. Elle est croissante, mais après je suis bloqué.
    J'ai un problème avec ta suite. Elle ne serait pas définie par , et la relation de récurrence , dont le terme serait une approximation, par la méthode d'Euler, de ?

  12. #11
    Majesty of Gaia

    Re : Juste un problème de convergence...

    @Flyingsquirrel:

    En fait l'idée de la méthode est la même, mais pour montrer la monotonie la méthode proposé dans ton lien semble bien plus rapide et digeste.
    La deuxième partie, pour la majoration c'est bien l'idée. Mais déjà ça simplifie pas mal la démonstration. Merci.

    @God's Breath:

    Oui l'idée des suites adjacentes était une bonne idée! Mais pareil, pour montrer que la différence tend vers 0, je coince.

    Pour la suite d'Euler c'est exactement ça! J'avais effectivement oublié de donner la condition initiale, et après il y avait une faute sur mon "2" qui aurait du être l'exposant, désolé.

    Alors la méthode ici diverge. Je voulais le donner en exemple justement pour "justifier" que j'étudiais la convergence des suites données par la méthode d'Euler pour conclure sur les solutions trouvées.

    Mais je voulais savoir, car je ne connaissais pas la méthode d'Euler avant de faire cette leçon, donc je n'ai pas beaucoup de recul... il suffit de montrer que la suite (un) diverge pour montrer que la méthode ne converge pas? Ou il se peut que la suite converge vers une fonction qui ne soit pas tan(x)? (ce qui me semblerait bizarre...)

    En fait de manière générale, je ne vois pas pourquoi ici la méthode converge pas...

    En tout cas merci pour tout le mal que vous vous donnez.

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