la continuité

[invite0f6f1e2d]

salut les amis ;

il n'y a pas longtemps qu'un de mes amis m'a questionné un question que je n'ai pas pu lui repondre tout à fait

il semble qu'elle est vraiment banale mais comment dire...c'est hésitant


on sait tous la fameuse définition de la continuité d'une fonction " f " en un point a :

pour tout e>0 , il existe k>0 tel que [ ligne 1 ]
si abs(x-a) < k alors abs( f(x)-f(a) )<e [ ligne 2 ]


la question de mon ami est belle et bien dans la définition :

pour prouver la continuité de la fonction ; on fixe d'abord "e" puis on cherche "k" ( comme il est écrit dans la ligne 1 )

donc logiquement ; on écrit dans la ligne 2 :
si abs( f(x)-f(a) )<e alors abs(x-a) < k

et non pas : si abs(x-a) < k alors abs( f(x)-f(a) )<e

et même si on adapte la définition dont tous le monde sait :

pour tout e>0 , il existe k>0 tel que [ ligne 1 ]
si abs(x-a) < k alors abs( f(x)-f(a) )<e [ ligne 2 ]


et même ; pour démontrer la continuité d'une fonction f en un point a ; on commence toujours par écrire
abs( f(x)-f(a) )<e d'abord ; pour qu'on cherche k

je ne vois pas comment lui répondre
à vous de m'aider
merci
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[invite899aa2b3]

Bonjour.
Le que l'on recherche doit vérifier .
On cherche un tel que dès que est à une distance de plus petite que alors les images seront distantes de moins que .

[KerLannais]

Salut,

Il est en effet bon de se poser ce genre de question, si tu n'as pas été capable de répondre à ton ami c'est que tu ne maitrise pas suffisamment la notion de continuité

Imaginons qu'on adopte la définition suivante pour la continuité:
une fonction est continue en un point si pour tout il existe tel que si alors

Prenons la fonction constante égale à , c'est à priori une fonction tout ce qu'il y a de plus continue et pourtant selon la fausse définition elle n'est continue en aucun point. En effet, raisonnons par l'absurde, prenons un et un et supposons que est continue en (selon la mauvaise définition), il existe donc un qui vérifie la condition de la définition. On a:

et donc on devrait avoir:

ce qui est impossible CQFD.

J'espère que ça t'aidera à répondre à ta question