théorème de Lagrange

[invitedd5ce01c]

Bonjour

Je ne comprend absolument pas la démonstration du théorème de Lagrange (celui qui nous indique que le cardinal d'un sous groupe H divise le cardinal de G).
Si quelqu'un à quelques explications je suis preneur

merci
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[invitec317278e]

a quel moment t'as du mal?

[invitedd5ce01c]

j'arrive pas à comprendre ce que représente la classe d'équivalence de y dans la relation d'équivalence xRy ssi x*y^-1 appartient à H (H le sous groupe de G) et pourquoi il y aurait plusieurs classes d'équivalences distinctes

[invitedd5ce01c]

Déjà, la classe d'équivalence de x par la relation d'équivalence xRy si et seulement si xy^(-1) appartient à H est-elle l'ensemble des éléments du sous groupe H de G ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Non, ne serait ce que parce qu'un element appartient evidemment a sa classe d'equivalence, et comme il existe des elements qui ne sont pas dans H...

Ceci dit tu n'etais pas tres loin : la classe d'equivalence de y est ce qu'on note Hy, cad l'ensemble :

donc en fait c'est une "copie" de H "décalée" par y, si tu veux. Et c'est facile de voir que H lui meme est la classe d'equivalence... de chacun des elements de H !

Formellement, c'est l'image de H par l'application de G dans G définie par . Comme y est inversible, cette application (qui n'est pas un morphisme de groupe, attention !) est bijective. Donc toutes les classes d'equivalences ont le meme nombre d'éléments, et donc en particulier le meme cardinal que H. est comme l'ensemble des classes d'equivalences forme une partition de G... Tu en deduis le resultat !

[invitedd5ce01c]

super, merci

Si j'ai bien compris, tous les éléments de H peuvent s'exprimer en fonction de y, on peut ecrire n'importe quelle élément de H comme ça : xy^(-1), x existera toujours puisque xy^(-1) appartient à G et y aussi donc x appartient aussi à G
?

[invitebe0cd90e]

Ce que tu dis n'est pas faux, mais ca n'est pas vraiment le point important.. En effet n'importe quel element de n'importe quel groupe peut toujours "s'exprimer" à partir de n'importe quel autre element...

La chose a vraiment comprendre, c'est cette idée que chaque classe d'equivalence est une copie de H, un ensemble en bijection avec H.

DU coup une autre maniere de dire que deux elements sont equivalents (peut etre plus parlante) est : xRy ssi Hx=Hy.

Ensuite, comme je te le disais, c'est un fait général que quand tu as une relation d'equivalence, les classes forment une partition de ton ensemble.

[invitedd5ce01c]

c'est compris merci à toi

[invitebe0cd90e]

De rien. N'hesite pas a regarder sur un exemple simple, comme :
G=Z/10Z, H={0,5}
G=S_3, H={Id, (1,2,3), (1,3,2) }