Rotation / Matrice de passage

[invite66fac36e]

Bonsoir ou bonjour ,

J'avais juste une petite question au niveau des rotations vectorielle.
Soit R une rotation vectorielle dans un espace euclidien E de dim 2 pour facilité.

Sa matrice M dans la base canonique (i,j) :
(cos(w), - sin(w))
(sin(w), cos(w))

et vu que R est un automorphisme orthogonal l'inverse de cette matrice est sa transposée.

Donc pour obtenir les coordonnées d'un vecteur y qui est l'image de x par une rotation de R d'angle w, je multiplie les coordonnées de x par la matrice de R.

Mais vu que R est un automorphisme orthogonal, la rotation d'une base de E donne une autre base de E, soit B'.

Donc M peut être considérer comme une matrice de passage. Or pour obtenir un vecteur dans une nouvelle base, il faut le multiplier par l'inverse de la matrice de passage soit : x'=M(-1)*x

Sauf que pour obtenir l'image par la rotation on fait : x'=M*x.

D'où mon problème de compréhension. Vu l'heure où je me mets à réviser ça, je dois pas avoir les yeux en façe des trous.

Merci de votre aide.
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[invitefa636c3d]

je te donne mon avis:

pour l'image x' de x par la rotation tu restes dans ta base (i,j) alors que dans l'autre cas tu trouves les coordonnées de x' dans ta nouvelle base B'...

je ne sais pas si je suis clair, à confirmer...

[invite66fac36e]

ouai je suis d'accord avec toi jameso, mais en même temps le nouveau vecteur revient à l'ancien vecteur mais dans cette nouvelle base. A chaque fois qu'on utilise cette applic linéaire, on change juste de base.

je viens de faire ce petit schéma vite fait sous paint pour mieux illustrer:



la base (i,j) devient (u,v) après une roation d'ange w, et tout vecteur x devient x' mais ça revient a changer de base ce vecteur. Donc je ne comprends toujours pas pourquoi les deux relations que j'ai dans mon premier message sont contradictoires.

[sylvainc2]

Tu viens de redécouvrir la différence entre une rotation active et passive. Une rotation active modifie un vecteur mais laisse le repère inchangé. Une rotation passive fait tourner le repère et laisse les vecteurs (autres que ceux de la base) inchangés. Ces rotations sont inverses l’une de l’autre. Dans R^2, une rotation active d’angle w correspond à une rotation passive d’angle –w.

Maintenant, pour ce qui est des changements de base, si on écrit x’ = M x, où les composantes de x sont écrites relativement à une base B, et celles de x’ relativement à une base B’, c’est que M est la matrice de passage de B à B’. Les vecteurs colonnes de M sont les composantes des vecteurs de la base B mais écrites relativement à la base B’, et non l’inverse. Je pense que c’est là où il y a confusion.

Dans ton dessin, une rotation des axes (i,j) d’angle w laisse x inchangé, d’accord, mais ca ne correspond pas à une rotation de x d’angle w pour donner x’ (en bleu). Ceci correspond plutôt à une rotation de (i,j) d’angle –w (sens horaire), et relativement à ce nouveau repère (u,v), le vecteur x a bien les mêmes composantes que x’ relativement au repère (i,j).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa636c3d]

un exemple:

je considère la rotation vectorielle d'angle pi/2, sa matrice dans la base canonique (i,j) est donc M
[0,-1]
[1,0]

j'applique cette rotation au vecteur x=(1,0) et je trouve bien sur le vecteur x'=(0,1) dans la base (i,j)

Maintenant,si je considère ma matrice de rotation comme une matrice de passage entre deux bases orthonormales alors j'obtiens la formule X=MX' soit X'=M^(-1)X

Comme une matrice orthogonale est inversible d'inverse sa transposée , si je veux obtenir les coordonnées du vecteur x=(1,0) (ici dans la base (i,j)) dans la nouvelle base (j,-i), je trouve le vecteur (0,-1) dans (j,-i)...

j'ai interprété la matrice M de deux manières différentes et je m'arréterai là dans mon commentaire....

[invite66fac36e]

ah d'accord, je vois mon erreur. Oui c'est vrai qu'un changement de base correspond juste à modifier les composantes d'un vecteur mais ne change pas la position d'un vecteur contrairement à la rotation de ce vecteur.

Mais sylvainc2, quand tu dis :"Les vecteurs colonnes de M sont les composantes des vecteurs de la base B mais écrites relativement à la base B’, et non l’inverse. Je pense que c’est là où il y a confusion."

c'est plutôt : M est la juxtaposition des composantes des vecteurs de la B' dans la B, où j'ai peut-être mal compris ta phrase.

Merci pour vos deux réponses.