Questions sur les corps

[invitea41c27c1]

Bonjour,

J'aurais deux questions :

- Comment démontre-t-on que deux corps de même caractéristique admettent une extension commune. Ce qui revient à montrer que si on a deux corps clos de même caractéristique alors l'un est une extension de l'autre.

- Si un corps K s'injecte dans L et si L s'injecte dans K, est-ce que celà implique qu'ils sont isomorphes ? Je pense que oui, mais je ne sais pas comment le démontrer. Le théorème de Cantor-Bernstein fournit une bijection entre les deux, mais la construction de cette bijection n'est pas un isomorphisme (en général).

Si vous avez des pistes, je suis preneur. Merci.
-----

[invite4ef352d8]

Je pense que la notion de Base de transcendance permet de répondre à tes questions... enfin... au moins à la première ^^


si tu as de corps deux corps L et M de meme caractéristiques, et K leurs sous corps premier commun (Z/pZ ou Q...)

alors on sais qu'il existe des famille (mi) et (li) d'elements de M et L algébriquement indépendant telle que M soit algébrique sur K((mi)) et L algébrique sur L((li))

on prend alors xi une famille d'interminer de cardinal supérieur à celui de (mi) et de (li) et alors L et M s'injecte dans la cloture algébrique de K((xi)) qui est donc une extension comune à L et M...


pour la deuxième je ne sais pas encore...

[Médiat]

- Si un corps K s'injecte dans L et si L s'injecte dans K, est-ce que celà implique qu'ils sont isomorphes ?

Dit comme cela surement pas, il faut que les deux bijections soient des morphismes injectifs pour que la question ait du sens .
Avec des morphismes injectifs et le théorème de Cantor-Bernstein appliqué aux bases de transcendance (comme dit Garnet), ça doit le faire.

[invite4ef352d8]

Avec des morphismes injectifs et le théorème de Cantor-Bernstein appliqué aux bases de transcendance (comme dit Garnet), ça doit le faire. >>> c'est pas si simple : une bijection entre les bases de transcendance ne donne pas une bijection entre les corps (meme si ils sont effectivement isomorphe) : genre {X²} est une base de transcendance de K(X)... et l'e morhisme X->X² n'est pas vraiment une bijection

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Avec des morphismes injectifs et le théorème de Cantor-Bernstein appliqué aux bases de transcendance (comme dit Garnet), ça doit le faire. >>> c'est pas si simple : une bijection entre les bases de transcendance ne donne pas une bijection entre les corps (meme si ils sont effectivement isomorphe) : genre {X²} est une base de transcendance de K(X)... et l'e morhisme X->X² n'est pas vraiment une bijection

Je ne voulais pas dire qu'une bijection entre bases de transcendance était un isomorphisme, mais s'il existe une bijection entre bases de transcendance c'est que les corps sont de même degré de transcendance, ce qui est un bon point de départ.

Avec un morphisme injectif dans les deux sens les corps sont de même caractéristique.

PS désolé d'avoir attribué l'idée à Garnet plutôt qu'à toi.

[invite4ef352d8]

Ouai, c'est aussi l'idée que j'avais eu en parlant de base de transceandance... mais apres quand j'ai essayé de le faire pour de vrai, ca marchait pas ^^

[invite4ef352d8]

Je viens de penser à un contre exemple :

On prend K un corps fixé (disons C).

on prend L=une cloture algébrique de K(X1,....Xn,...)
et M=L(X)
on note L' la cloture algébrique de K(X2,...Xn..) incluse dans L

on a L qui s'injecte dans M (trivial)
et M qui s'injecte dans L : L' est isomorphe à L donc L(X) est isomorphe a L'(X1) inclu dans L.

Or M et L ne sont pas isomorphe : L est algébriquement clos par construction, alors que M ne peut l'etre (l'equation T^2=X n'as pas de solutions...)

sauf erreur, ca répond à la question

[invitea41c27c1]

Ah oui ça m'a l'air correcte. Bravo !

[Médiat]

Je viens de penser à un contre exemple

Excellent contre-exemple.

Est-ce que tu ne te compliques pas un peu (très très peu) la vie pour montrer que M s'injecte dans L ? (X--> X₁, et X_i --> X_i+1) est bien un morphisme injectif, non ?

[invite4ef352d8]

Ba je sais pas trop ce que tu as en tête en disant cela, mais dans l'absolue des applications entre les bases de transcendance ne ce prolonge pas en des morphismes de corps... ici ca marche bien parceque on peut utiliser l'unicité de la cloture algébrique pour étendre les morphismes, c'est pour ca que j'ai préferai détaillé un peu la construction... apres c'est peut-etre moi qui vois des complications ou il n'y en a pas ^^

[Médiat]

Ba je sais pas trop ce que tu as en tête en disant cela, mais dans l'absolue des applications entre les bases de transcendance ne ce prolonge pas en des morphismes de corps... ici ca marche bien parceque on peut utiliser l'unicité de la cloture algébrique pour étendre les morphismes, c'est pour ca que j'ai préferai détaillé un peu la construction... apres c'est peut-etre moi qui vois des complications ou il n'y en a pas ^^

Ce sont deux extensions de K, donc le morphisme n'est pas uniquement sur les bases de transcendance.

[Médiat]

Ceci dit, cela fait un million d'années que je n'ai pas travaillé sur les corps autrement que d'un point de vue modèle théorique ...

[invite4ef352d8]

Ba y a des cas ou ca marche pas :
par exemple la cloture algébrique de K(X) ne peut en général pas s'injecter dans K(X), alors que dans les deux cas {X} est une base de transcendance sur K.

[Médiat]

Ba y a des cas ou ca marche pas :
par exemple la cloture algébrique de K(X) ne peut en général pas s'injecter dans K(X), alors que dans les deux cas {X} est une base de transcendance sur K.

Je n'ai pas dit que cela marchait tout le temps et pour tous les degrés, j'ai repris ton exemple avec un degré infini dénombrable et tel que M = L(X) avec L algébriquement clos.

Pour faire une analogie, si on pose :


On peut trouver facilement une injection croissante (ordre lexicographique) de L vers M, et aussi de M vers L (en envoyant sur la première copie de et en décalant les autres copies de )

[invite4ef352d8]

Ok d'accord !
dans ce cas on construit exactement la meme application de la meme facon, c'est juste que j'ai voulue détaillé un peu parceque justement "ca existe pas toujours"

[Médiat]

Il reste à se poser la question pour les corps de degré de transcendance fini sur leur corps premier, puisque le contre-exemple ne fonctionne plus. Et la je crois que la réponse est oui (mais il faut l'écrire proprement).

[Médiat]

Et la je crois que la réponse est oui.

Finalement, je ne crois pas non plus

[invite4ef352d8]

tu as un contre exemple ? parceque ca m'avait l'air vrai à moi aussi ^^

[Médiat]

tu as un contre exemple ? parceque ca m'avait l'air vrai à moi aussi ^^

Ce matin ça m'a l'air d'être vrai, j'étais parti sur la piste d'un contre-exemple, et j'ai retrouvé un théorème que j'avais oublié : Une extension est purement algébrique si elle est l'union de sous-extensions finies (mais je n'ai pas de démonstration propre).