orthonormalisation de schmidt

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

theoreme:

soit E un espace vectoriel euclidien et b=(u1,...,u n) une base quelconque de E .


il existe une base orthonormale unique b'=(e1,...,e n) telle que
pour tout k de [[1;n]]; vect (e1,...,ek)=vect(u1,...,uk)
et (ek / uk) >0

demonstration:

raisonnons par reccurence sur k appartient à [[1;n]]
pour k=1 il existe bien un vecteur unitaire unique colineaire à u1 et de meme sens : e1=u1/ norme de u1

soit pour k< ou egal à n-1 une famille orthogonale (e1,...,ek) repondant à la question.

on veut montrer l'existence et l'unicité d'un vecteur e k+1 tel que:

a) ek+1 appartient à vect(u1,...,u k+1)=vect(e1,...,e k,u k+1)

b) la famille (e1,...,e k+1) soit orthonormale

c) (e k+1 / u k+1) > 0


projetons orthogonalement u k+1 sur le sous espace
F k=vect(e1,...,ek)


u k+1=(u k+1/e1)e1+...+(u k+1/e k)e k +v k+1 où v k+1 appartient à l'orthogonale de Fk.on a bien

v k+1 appartient à vect(e1,...,ek,u k+1)




je ne comprends pas du tout pourquoi au debut on a
ek+1 appartient à vect(u1,...,u k+1)=vect(e1,...,e k,u k+1)

je ne comprends pas non plus ceci:u k+1=(u k+1/e1)e1+...+(u k+1/e k)e k +v k+1 où v k+1 appartient à l'orthogonale de Fk.

et je ne comprends pas non plus pourquoi v k+1 appartient à
vect(e1,...,ek,u k+1)


pouvez vous m'aidez svp ?


merci par avance


ps : (. / .) designe le produit scalaire et et les k et k+1 sont en indice
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[invite34b13e1b]

Pour tes questions 2 et 3 (je n'ai pas trop compris ta première question...):
2.
On projette orthogonalement le vecteur u_k+1 sur Vect(e_1,...,e_k)
Donc u_k+1 va s'écrire avec "un peu de chaque vecteur e_1,...,e_k" et un autre vecteur qui n'appartient pas à <e_1,...,e_k>.
_Ce nouveau vecteur,v_k+1, est orthogonal car construit comme tel, à <e_1,...,e_k>. c'est avec celui-ci que tu vas construire ta base orthonormale.
_ Tous les "un peu de" ne sont rien d'autre que u_k+1|e_1,...,u_k+1|e_k

Il faut voir ca comme de la géométrie!


3.
v_k+1 appartient à Vect(e_1,...,e_k,u_k+1) tout simplement parce qu'on a l'égalité: u_k+1="untruc"e_1+"untruc"e_2+ ...+"untruc"e_k+v_k+1
Ou ecrit autrement:
u_k+1-("untruc"e_1+"untruc"e_2+...+" untruc"e_k)=v_k+1

En espèrant avoir été clair, (c'est pas gagné...)

[invite69d45bb4]

peux tu etre un peu plus clair stp

[invite69d45bb4]

en fait je ne comprends pas pourquoi on a la relation suivante ek+1 appartient à vect(u1,...,u k+1)=vect(e1,...,e k,u k+1)

que vient faire le u k+1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

en fait le seul truc que je ne comprends pas c'est pourquoi
(e_1,...,e_k,v_k+1) est orthogonale.

pouvez vous me l'expliquez svp

merci par avance

[invite34b13e1b]

en fait je ne comprends pas pourquoi on a la relation suivante ek+1 appartient à vect(u1,...,u k+1)=vect(e1,...,e k,u k+1)

que vient faire le u k+1 ?

On est d'accord que
De plus on a l'égalité:
u k+1=(u k+1/e1)e1+...+(u k+1/e k)e k +v k+1
ou: u k+1-((u k+1/e1)e1+...+(u k+1/e k)e k) =v k+1
il vient:
e_k+1=Vect(u_k+1,e1,...,e k)

en fait le seul truc que je ne comprends pas c'est pourquoi
(e_1,...,e_k,v_k+1) est orthogonale.

la famille (e_1,...,e_k) est orthonormale car c'est l'hypothèse de récurrence.
On construit v_k+1 orthogonale a e_1, ..., e_k.
(Par exemple, le plan (xOy) admet ((0,1),(1,0)) comme base, et ben tu construis une base orthonormale de V3 (Ox,Oy,Oz) en ajoutant le vecteur (0,0,1) aux vecteurs (0,1,0) et (1,0,0) qui engendraient ton plan).
C'est une construction et rien d'autre.

@+