équation de la chaleur dans un cylindre - résolution

[invitebe61bf6e]

Bonjour,

J'avais un post dans la section matériaux mais j'arrive maintenant à des mathématiques pures alors je me permets de poster ici. Je vous explique mon problème (avec les équations en image pour plus de lisibilité) :

En résumé, j’ai une bobine de thermoplastique qui est placée en étuve, et j’aimerais savoir au bout de combien de temps celle-ci atteint la température de l’étuve.

Je suis donc parti de l’équation de la chaleur (Fourier) en coordonnées cylindriques :



Avec : ρ la masse volumique (kg/m3), c la chaleur massique spécifique (J/kg.K), λ la conductivité thermique (W/m.K) et q⃛ la puissance volumique (W/ m3).

Dans le membre de droite, j’ai négligé le 2è terme (symétrie axiale) et le 3è terme (hypothèse : cylindre de longueur infinie), et le dernier (pas de source interne).

Donc il reste :



Mes conditions aux limites sont :



J’aimerais résoudre le problème en simulation numérique : mettre ça en développement limité, et réussir à mettre sous forme d'un système matriciel simple pour le résoudre mais... Je ne sais pas si c'est possible alors je suis à l'écoute de toutes vos idées... Et je bloque complétement (il faut que j'avoue que je suis vraiment nul en maths...)... Là je suis complétement bloquer et je ne sais pas comment résoudre ça...

J'espère que vous pourrez m'aider !

Merci d'avance,

Pierre.
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[Fanch5629]

Bonjour.

Fais des recherches sur la résolution de l'équation de la chaleur par différences finies; beaucoup de références sur le web. Dans le cas présent, c'est assez simple puisqu'il n'y a qu'une variable d'espace.

De quels moyens de calcul numérique disposes-tu ?

@+

[invitebe61bf6e]

Bonjour,

Merci de ta réponse, je vais me renseigner pour essayer de trouver des ressources sur le web sur les différences finies.

Pour résoudre je pensais programmer un peu (en C ou en basic), ou utiliser mathcad. Mais s'il y a une solution plus simple ou plus intéressante, je suis preneur !

[invite6f25a1fe]

Tu peux aussi procéder par séparation de variable en posant : T(t,r)=f(t).g(r).

En injectant dans l'équation de la chaleur, tu obtiendras des équations découplées (une pour f, une pour g) qu'il sera alors plus facile de calculer (à la main c'est possible il me semble) ou sur ordinateur (plus simple car tu auras alors des équations différentielles standards avec qu'une variable à chaque fois)

P.S : Par contre, je n'ai jamais su si cette méthode permettait d'obtenir toutes les solutions de la première équation. Apparement, c'est au moins le cas dans les cas simples, mais pourquoi ?. Si quelqu'un a des infos, je suis preneur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Bonjour,

Pour répondre à la question

P.S : Par contre, je n'ai jamais su si cette méthode permettait d'obtenir toutes les solutions de la première équation. Apparement, c'est au moins le cas dans les cas simples, mais pourquoi ?. Si quelqu'un a des infos, je suis preneur.

il suffit de montrer que pour une condition initiale donnée suufisamment régulière (en fait il suffit qu'elle soit très peu régulière pour que ça fonctionne) et pour des conditions au bord données il y a une unique solution. Dans ce cas, si pour chaque condition initiale on trouve une solution c'est qu'on les a toutes.

Pour ne pas être trop technique je vais rester avec des fonctions régulières mais normalement on travaille dans des espaces de Sobolev de toute façon l'idée de la démonstration est inchangée

Soit un ouvert borné de , , et des fonctions sans régularité particulière (ce que je note c'est le bord de ). Montrons qu'il existe au plus une fonction continue, en temps et en espace sur telle que



Autrement dit c'est l'équation de la chaleur avec un terme source qui peut varier dans le temps et l'espace et qui est à priori pas régulier, une condition au bord de type Dirichlet pas régulière qui dépend du temps et de l'espace et une condition initiale pas forcément régulière et le tout sur un domaine un peu quelconque (ici je cherche pas à savoir s'il existe une solution je veux juste montrer l'unicité). La démontration peut aussi se généraliser avec une diffusion non isotrope, c-à-d en remplaçant par avec une matrice symétrique positive.

On suppose qu'il y a deux solution et , on montre que la fonction est nulle. Il est clair que, comme le problème est linéaire, la fonction est solution de



(c'est pour ça qu'on ne fait aucune hypothèse de régularité sur , et puisque ça ne sert à rien comme on le voit ici)

On pose:

On peut dériver sous l'intégrale et on trouve:


On fait une intégration par parties (on utilise la formule de Stokes), comme le terme de bord est nul on a

Autrement dit, la fonction est décroissante et donc

ce qui suffit pour conclure que CQFD