demonstration orthonormalisation de schmidt

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

theoreme:

soit E un espace vectoriel euclidien et b=(u_1,...,u_n) une base quelconque de E .


il existe une base orthonormale unique b'=(e_1,...,e_n) telle que
pour tout k de [[1;n]]; vect (e_1,...,e_k)=vect(u_1,...,u_k )
et (e_k / u_k) >0

demonstration:

raisonnons par reccurence sur k appartient à [[1;n]]
pour k=1 il existe bien un vecteur unitaire unique colineaire à u1 et de meme sens : e_1=u_1/ norme de u_1

soit pour k< ou egal à n-1 une famille orthogonale (e_1,...,e_k) repondant à la question.

on veut montrer l'existence et l'unicité d'un vecteur e_k+1 tel que:

a) e_k+1 appartient à vect(u_1,...,u_k+1)=vect(e_1,. ..,e_k,u_k+1)

b) la famille (e_1,...,e_k+1) soit orthonormale

c) (e_k+1 / u_k+1) > 0


projetons orthogonalement u k+1 sur le sous espace
F k=vect(e_1,...,e_k)


u_k+1=(u_k+1/e1)e1+...+(u_k+1/e_k)e_k +v_k+1 où v_k+1 appartient à l'orthogonale de Fk.on a bien

1)v_k+1 appartient à vect(e1,...,e_k,u_k+1)

2)la famille (e_1,...,e_k,v_k+1) est orthogonale ( mais pas encore orthonormale car v_k+1 n'est pas necessairement unitaire)

3)comme (v_k+1/u_k+1- v_k+1)=0, (v_k+1/u_k+1)= norme au carré de v_k+1 est strict superieur à 0.


pouvez vous m'expliquez le 2) et le 3)


merci par avance.


ps./.) designe le produit scalaire
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[KerLannais]

Salut,

Pour la question 2)
Pour montrer que (e_1,...,e_k,v_k+1) est orthogonal il est nécessaire et suffisant de montrer que les vecteurs de cette famille sont deux à deux orthogonaux (que leur produit sacalaire est nul). Si tu prends deux vecteurs distincts de cette famille tu as essentiellement deux cas:
1- tu ne choisis pas v_k+1 et donc tu calcules (e_i/e_j) avec i et j distincts compris entre 1 et k. Par hypothèse de récurrence la famille (e_1,...,e_k) est orthogonale et donc
(e_i/e_j)=0
ce qui finit de montrer ce cas
2- tu choisis v_k+1 et donc tu calcules (v_k+1/e_i) avec i compris entre 1 et k. Donc tu te remontes un peu les manches et tu te met au travail et tu calcules (et oui, pour comprendre en maths il faut un peu travailler)
(v_k+1/e_i)=(u_k+1-(u_k+1/e_1)e_1-...-(u_k+1/e_k)e_k/e_i)

(j'ai utilisé la définition de v_k+1)

=(u_k+1/e_i)-(u_k+1/e_1)(e_1/e_i)-...-(u_k+1/e_k)(e_k/e_i)

(j'ai utilisé la bilinéarité du produit scalaire)

=(u_k+1/e_i)-(u_k+1/e_i)

(j'ai utilisé l'hypothèse de récurrence qui dit que la famille (e_1,...,e_k) est orthonormale et donc, pour j différent de i (e_j/e_i)=0 et (e_i/e_i)=1)

=0
(là c'est évident)
cela traite donc le deuxième cas et donc la question 2)

La question 3) viens simplement du fait que v_k+1-u_k+1 est dans l'espace engendré par (e_1,..., e_k) et du fait que v_k+1 est orthogonal à cet espace (ce que dit la question 2)) mais là encore tu peux faire le calcul et tu trouveras le résultat