Conduction chaleur dans un cylindre

[invitec80b66b6]

Bonjour,
j'ai vu que pas mal de postes en parlent déjà mais je n'ai pas encore trouvé de réponses à mon problème.
Voilà j'aimerai modéliser la chauffe de matériau cylindrique (de hauteur H) par conduction de chaleur par un four, le but étant de déterminer l'évolution de la température en fonction du temps et de l'espace.

Je connais la chaleur fournie (Q en W), le Cp (capacité calorifique moyenne en J.kg-1.K-1), Rho (masse volumique moyenne en kg.m-3) et lamda (conductivité thermique moyenne en W.m-1.K-1) du matériau.

Le flux de chaleur traversant une paroi étant donné par:
Q=-lamda * 2Pi() * R*H* dT/dr

Le probème c'est qu'on ne peut pas intégrer cette équation entre le rayon et le centre!
Et je n'arrive pas non plus à utiliser la loi de fourier; car mon système diverge et je ne sais pas pourquoi.

Je suis un peu perdu.
Est-ce que vous auriez des idées?

Merci d'avance.
-----

[invitecaa1450e]

C'est un exercice ou un problème que tu te poses tout seul ?
Spontanément j'essaierai d'appliquer le premier principe en entier dans un premier temps...

[pephy]

Le flux de chaleur traversant une paroi étant donné par:
Q=-lambda * 2Pi() * R*H* dT/dr

Le probème c'est qu'on ne peut pas intégrer cette équation entre le rayon et le centre!

bonjour

à intégrer pour T variant de T1 à T2 et r variant de 0 à R
Se déduit de la loi de Fourier:

non?

[invitec80b66b6]

Oui je suis d'accord mais qu'on intègre, on tombe sur Ln(r/R1), r variant entre R1=0 et R...
donc là je suis coincé. je peux toujours m'approcher vers 0.001 mais bon...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaa0ade65]

bonjour

à intégrer pour T variant de T1 à T2 et r variant de 0 à R
Se déduit de la loi de Fourier:

non?

Non

Ce que franzis a écrit c'est le flux sur la surface latérale. C'est à dire que l'on ne connaît la dérivée de T par rapport à r que pour une valeur r=R.

Pour le reste du cylindre il faut faire des hypothèses. Si le cylindre est assez long tu peux supposer que T est une fonction uniquement de r.

Soit tu utilises ensuite le Laplacien en coordonnées cylindriques, soit tu fais un bilan entre deux cylindres de rayons r et r+dr (attention à la surface du deuxième).

Dans tous les cas tu arrives à une équation différentielle en T(r) (normalement du second ordre).

Il ne restera plus qu'à l'intégrer en tentant compte de la condition en r=R déjà évoquée.

[pephy]

oui en effet.
Je ne pense pas qu'il y ait une autre solution que de prendre R1 non nul

[pephy]

Non

Ce que franzis a écrit c'est le flux sur la surface latérale. C'est à dire que l'on ne connaît la dérivée de T par rapport à r que pour une valeur r=R.

oui mais moi j'ai mis r
et je suppose que le flux est constant

[pephy]

je n 'avais pas bien lu le problème initial;on n'est pas en régime stationnaire;il s'agit d'étudier l'évolution en fonction du temps.
Dans ce cas l'équation à résoudre est (sauf erreur):

on traite çà habituellement par des méthodes numériques

[inviteaa0ade65]

je n 'avais pas bien lu le problème initial;on n'est pas en régime stationnaire;il s'agit d'étudier l'évolution en fonction du temps.
Dans ce cas l'équation à résoudre est (sauf erreur):

on traite çà habituellement par des méthodes numériques

Oui j'ai la même équation.

Il y a peut-être moyen de cherche une solution sous la forme f(r)g(t), c'est également un démarche classique.

[invitec80b66b6]

je n 'avais pas bien lu le problème initial;on n'est pas en régime stationnaire;il s'agit d'étudier l'évolution en fonction du temps.
Dans ce cas l'équation à résoudre est (sauf erreur):

on traite çà habituellement par des méthodes numériques

Oui c'est ce que j'ai fais, sauf que j'ai seulement et je l'ai simulé sous le logiciel Matlab mais c'est la que j'obtiens une matrice dont les valeurs propres sont supérieures à 1 et donc mon système diverge!
et je ne sais pas pourquoi car à priori l'équation est juste et le programme bien écris ...

[inviteaa0ade65]

Oui c'est ce que j'ai fais, sauf que j'ai seulement

Ce n'est pas la bonne équation. cf celle de pephy et la mienne.

et je l'ai simulé sous le logiciel Matlab mais c'est la que j'obtiens une matrice dont les valeurs propres sont supérieures à 1 et donc mon système diverge!
et je ne sais pas pourquoi car à priori l'équation est juste et le programme bien écris ...

Pas très étonnant si tu ne fais qu'apporter le l'énergie par la surface latérale, on voit mal comment T pourrait ne pas croître infiniment...(jusu'à la fusion, cf fonctionnement d'un fusible)

[invitec80b66b6]

merci de répondre aussi rapidement.
je ne vois pas à quoi correspond le terme supplémentaire que pephy et vous avez en plus.
Et c'est normal que j'apporte de l'énergie par la surface latérale car je cherche à modéliser la chauffe d'un four, qui chauffe par les côtés.

Ce que j'aimerai faire c'est connaissant la chauffe latérale et la température en périphérie c'est déterminer le gradient de T°C qui d'installe dans le four en fonction de t et r.

[inviteaa0ade65]

merci de répondre aussi rapidement.
je ne vois pas à quoi correspond le terme supplémentaire que pephy et vous avez en plus.

Fais un bilan entre deux cylindres de rayon r et r+dr en faisant très attention à la surface du rayon externe ou utilise le laplacien en coordonnées cylindriques, cela revient au même.

Et c'est normal que j'apporte de l'énergie par la surface latérale car je cherche à modéliser la chauffe d'un four, qui chauffe par les côtés.

Donc c'est normal que cela diverge au cours du temps.

Ce que j'aimerai faire c'est connaissant la chauffe latérale et la température en périphérie c'est déterminer le gradient de T°C qui d'installe dans le four en fonction de t et r.

Si tu as la simulation numérique avec Matlab tu dois pouvoir faire tracer à chaque instante le gradient qui t'intéresse, non ? Tu auras alors seulement des graphes, pas des expressions numériques. Ou alors il me manque une info.

As-tu tenté une recherche en variable séparable f(r)g(t) ?

[invitec80b66b6]

je crois que je commence à comprendre.. lol
c'est en fait la traduction de l'équation de fourier en coordonnées cylindrique (laplacien en coordonnée cylindrique, c'est loin tout ça....).

Donc je vais reprendre mon code avec le terme supplémentaire que vous m'avez indiqué.
Merci encore pour tout.

PS: oui j'ai des graphes et sur les graphes j'ai des oscillations (donc à cause de la divergence de mon système)

[invitec80b66b6]

re bonjour à tous!
je viens de trouver un super cours divisés en plusieurs fichiers pdf sur les problèmes de thermique dans les cours de l'école polytechnique de lausanne:

http://mxsg3.epfl.ch/ltp/Cours/

vraiment très bien faits, si ça peut servir..

PS: j'y ai retrouvé le laplacien en coordonnée cylindrique! et tous les détails sur la loi de fourier et quelsques applications.

[invitec80b66b6]

De toute façon ça ne change rien au problème de divergence. Ce que je veux faire c'est:
je connais la chauffe en périphérie et je veux savoir comment la chaleur est conduite jusqu'au coeur du cylindre, créant ainsi un gradient.

Exemple:
le cylindre est à 20°C, on chauffe la périphérie qui "monte" alors à 30°C. La position à 'dr' à côté sera peut être à 29°C, puis celle d'après à 28°C... jusqu'au coeur du cylindre où en fait la température ne sera que de 21°C.
Puis on chauffe encore plus à 40°C avec une pente par exemple et je cherche à savoir comment va évoluer la température en fonction de l'espace et du temps.

je sais pas si je suis très clair mais bon j'essaye d'avancer.

[inviteaa0ade65]

Salut

De mon côté comme tu n'avais pas l'air intéressé par la piste des variables séparables f(r)g(t) je l'ai fait moi-même

Tout d'abord on arrive à une équation différentielle



où

A gauche on a une fonction uniquement de r, à droite uniquement de t, donc les deux expressions sont des constantes.

Ce qui impose à g d'être une solution exponentielle. L'analyse physique faite précédemment montre que cette constante doit être positive pour qu'il y ait divergence au cours du temps : on la note alors K^2.

J'impose arbitrairement g(0)=1 (en déportant toute constante multiplicative sur f). On a donc g(t)=exp(K^2t/a).

L'équation différentielle en f est alors



qui admet comme solution une combinaison linéaire de fonction de Bessel modifiée de première et deuxième espèce (BesselI et BesselK en notation Maple)

En prendant en compte des conditions initiales T(R1,0)=T0 et dT/dt(r=R1)=g0 (valeur du gradient fixé par la "chauffe") on arrive a avoir explicitement les constantes d'intégrations.

Il reste à déterminer K. La fonction BesselK(0,K*r) diverge en r=0, ce qui fait qu'elle doit être absente de la combinaison linéaire ce qui fixe après calcul K comme solution de



On a donc tout déterminé .

Voili voilou

[invitec80b66b6]

Salut

De mon côté comme tu n'avais pas l'air intéressé par la piste des variables séparables f(r)g(t) je l'ai fait moi-même

Tout d'abord on arrive à une équation différentielle



où

A gauche on a une fonction uniquement de r, à droite uniquement de t, donc les deux expressions sont des constantes.

Ce qui impose à g d'être une solution exponentielle. L'analyse physique faite précédemment montre que cette constante doit être positive pour qu'il y ait divergence au cours du temps : on la note alors K^2.

J'impose arbitrairement g(0)=1 (en déportant toute constante multiplicative sur f). On a donc g(t)=exp(K^2t/a).

L'équation différentielle en f est alors



qui admet comme solution une combinaison linéaire de fonction de Bessel modifiée de première et deuxième espèce (BesselI et BesselK en notation Maple)

En prendant en compte des conditions initiales T(R1,0)=T0 et dT/dt(r=R1)=g0 (valeur du gradient fixé par la "chauffe") on arrive a avoir explicitement les constantes d'intégrations.

Il reste à déterminer K. La fonction BesselK(0,K*r) diverge en r=0, ce qui fait qu'elle doit être absente de la combinaison linéaire ce qui fixe après calcul K comme solution de



On a donc tout déterminé .

Voili voilou

Bon, OK mais j'ai fais quelques recherches et je ne voie pas comment mettre cela en place sous Matlab, avec la fonction de bessel.

Je suis toujours coincé mais merci pour votre aide quand même.

[invitec80b66b6]

Je m'y suis remis mais mon problème n'a pas trop évolué et j'en suis au même point. Si ce n'est que j'ai découvers la condition sur mon pas de temps qui fait que mon système diverge ou pas.

Des idées pour m'aider à coder ça correctement?

[invite15928b85]

Bonjour.

Une approche possible est de résoudre l'équation de la chaleur par différences finies : le problème présente une symétrie de révolution, il suffit donc de discrétiser la géométrie de 0 à R, les dérivées spatiales de la température s'annulant pour r = 0.

Pour traiter l'aspect temporel, une bonne méthode est le schéma de Crank-Nicolson. On arrive ainsi à un schéma numérique d'ordre 2 en temps et en espace, inconditionnellemnt stable. Avec Matlab, ça s'implémente très facilement et c'est plutôt marrant de voir ce qui se passe quand on change les paramètres, les conditions aux limites, etc.

Un petit conseil, si nécessaire, faire une recherche sur les éléments finis avec gougueule. Il y a quelques temps de cela, j'y ai trouvé tout ce qu'il me fallait pour traiter un problème similaire (évolution de la température dans un tuyau d'eau en fonction d'un échelon de la température extérieure). Le cas échéant, je posterai le script quand j'en aurai la possibilité matérielle.

@+

[invitec80b66b6]

Bonjour Franch!

C'est exactement ce que j'ai fais. je suis parti de l'équation de fourier en cylindrique:



puis j'ai discrétisé l'espace et le temps pour obtenir la relation de récurrence suivante:



et puis j'ai codé tout ça sous Matlab. J'ai peut être pas utilisé la bonne méthode ou mal codé mais les résultats obtenus ne sont pas satisfaisants et ne représentent pas le phénomène physique. Est-ce que tu serais intéressé que je t'envoie mes codes pour y jeter un coup d'œil?

Merci de votre aide

[invite15928b85]

Bonjour.

L'équation à résoudre est correcte. Il aurait fallu spécifier la condition imposée à la surface pour être complet.

La discrétisation spatiale est correcte mais incomplète : ne pas oublier que r = r_i, il aurait fallu l'expliciter. D'autre part, il aurait fallu discrétiser l'équation en r = 0 (symétrie axiale, donc dT/dr = 0) et en r = R (fonction de la condition limite imposée). Attention à conserver l'ordre 2 du schéma à ce niveau.

Intégration temporelle par un schéma explicite d'ordre 1 : pourquoi pas (moi, je préfère Crank-Nicolson (ordre 2), mais à chacun ses goûts ...) Le pas temporel devra donc être petit pour stabilité et précision.

Ok pour examiner ton code s'il est raisonnablement commenté. Il suffit de me l'envoyer par message privé.

@+

[invitec80b66b6]

Voilà enfin le code matlab pour la résolution de l'équation de Fourier en coordonnées cylindriques avec discrétisation en différences finies et en schéma explicite:

Code à télécharger (pdf)

Maintenant je commence à réfléchir à faire la même chose en coordonnée cartésiennes 2D suivant x et y. Donc ça va donner une température en tout point T(x,y) qui évolue au cours du temps, soit une matrice trois dimensions! Comment faire? est-ce que je dois créer deux matrices une pour T(x,t) et l'autre T(y,t)? reliées entre elles.

J'avoue être un peu perdu; toute aide sera la bienvenue. Les exemple trouvés sur internet ne traitent que suivant une direction x la plus part du temps...

Merci d'avance