théorème de convergence dominée

[invite34b13e1b]

Bonjour,
je suis tombé ~par hasard~ sur un exercice qui m'intrigue pas mal...
Voici l'énoncé:
Etudier
où f:[0,1]-->R est continue.

Le corrigé dit qu'en utilisant le "théorème de convergence dominée", comme f bornée, on a:


Etant en MPSI, je n'ai pas encore vu ce théorème, donc je ne comprend pas le corrigé dans son intégralité:
J'ai vu sur wiki que le théorème dit que sous certaines conditions:

Donc ce que moi je comprends, c'est que comme x appartient à [0,1]: f(x^n) est égale à f(0) quand n tend vers l'infini; donc l'intégrale recherchée n'est autre que: donc f(0).
il me reste un problème avec 1^infini qui n'est pas égale à 0...

Est-ce que ce raisonnement est le pseudo-bon, ou ce théorème doit-il être utilisé autrement?

Merci d'avance
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[invite97a92052]

Le raisonnement est bon, sauf que tu n'écris pas que tu utilises ce théorème de convergence dominée (et tu ne vérifie pas ses hypothèses, du moins tu ne les as pas écrites )

Sinon oui, c'est bien ça. Le fait qu'il y ait un problème en 1 n'est pas un souci, intégrer sur [0, 1] donne le même résultat qu'intégrer sur [0, 1[ (tu peux même aller plus loin si tu en as le courage, et regarder la notion de "presque partout", qui rejoint aussi la notion de limite d'une fonction, quand tu écris )

[invite4ef352d8]

Salut !

oui en effet c'est bien ca, l'hypothèse de domination est ici tres facil à vérifier : il suffit de dominer par la fonction constante egal au sup de |f|.
pour ton problème en 1, de facon superficiel, comme f(x^n) -> f(0) pour tous x autre que 1, et f(x^n) -> f(1) si x=1, donc de la facon ou tu énonce le th de convergence dominé ca tend vers l'intégral de 0 à 1 de la fonction qui vaut f(0) sur [0,1[ et f(1) en 1... cette intégral vaut bien f(0) (la valeur en 1 n'as en fait aucune importante...)

plus profondément on à meme pas bessoin d'avoir que pour tous x, fn(x) -> f(x) pour que intégral de fn(x) -> intégral de f(x), il suffit que "pour presque tous x"* fn(x) -> f(x) (sous réserve qu'on est l'hypothèse de domination neccessaire à l'application de ce théorème bien entendu...)

* : ca signifie "pour tous x sauf peut etre sur un ensemble de mesure nul".

tu verra ce théorème (enfin... une forme de ce théorème ) l'ans prochain (enfin... en MP, je sais pas si on le fait en PSI et en PC...)


Note aussi que tu peut tres bien résoudre cette exercice sans avoir recours à ce puissant théorème (et difficile : c'est l'un des rare théorème admis en prépa ) en utilisant les methodes classique de sup, je t'encourage à essayer, c'est un exelent exercice (prend un epsilon et coupe en deux ^^ )

[invite97a92052]

Note aussi que tu peut tres bien résoudre cette exercice sans avoir recours à ce puissant théorème (et difficile : c'est l'un des rare théorème admis en prépa ) en utilisant les methodes classique de sup, je t'encourage à essayer, c'est un exelent exercice (prend un epsilon et coupe en deux ^^ )

Je m'en sors aussi avec le changement de variable u = tⁿ et quelques manipulations (majorations) "de base", sauf erreur

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite34b13e1b]

Bonjour,
Alors mon problème en 1 est résolu grâce à vous: c'est notamment l'intégration de 0 à 1-epsilon, puis de 1-epsilon à 1 qui m'a éclairé!

En ce qui concerne la résolution de l'exercice avec les outils de sup:

_ Quand je fais le changement de variable: u=t^n je trouve:


Et la je suis comme qui dirait bloqué: j'ai pensé à une intégration par partie --> pas splendide...


_Ksilver, tu me proposes d'introduire epsilon et de le couper en 2.
Je ne sais pas où introduire cet epsilon:
Je me doute que tu parlais des bornes, et on aurait ainsi:

Et là, je ne sais pas comment continuer (en évitant évidement d'utiliser le fameux théorème de convergence dominée).

Merci pour votre aide

[invite97a92052]

_ Quand je fais le changement de variable: u=t^n je trouve:

cette dernière égalité est fausse !


Par contre en refaisant le truc ça n'aboutit pas, je devais pas être en forme hier, j'ai du écrire une belle ânerie !

[invite97a92052]

Je me doute que tu parlais des bornes, et on aurait ainsi:

Et là, je ne sais pas comment continuer (en évitant évidement d'utiliser le fameux théorème de convergence dominée).

Fixe epsilon différent de 0.
est majoré par , et minoré par

Fais tendre n vers +l'infini dans cette inégalité. tend vers 0 donc tend vers f(0), ainsi que l'inf (par continuité de f)
Tu obtiens que pout tout epsilon, tend vers f(0) quand n tend vers + l'infini

Pour la 2ème intégrale, tu peux prendre sa valeur absolue et la majorer grossièrement par .
QUand tu fais tendre n vers l'infini, cette expression ne change pas.

Faisons maintenant varier epsilon.
quelque soit epsilon, f(0) (la limite de la première intégrale) ne change pas.
Et si on fait tendre epsilon vers 0, tend vers 0 car f est continue donc bornée sur [0, 1].

C'est un peu rédigé avec les pieds, mais ça te laisse de quoi remettre au propre

[invite34b13e1b]

bon, bah c'est super tout ca, merci encore...

Ce qui m'a bloqué c'est de majorer la première intégrale par le pour en venir à f(0) quand n tend vers l'infini car "x appartiendrait à {0}"...

Ca paraît un peu bête maintenant que je l'ai sous les yeux... Enfin bon maintenant c'est compris!


La seconde intégrale m'a posé moins de problème car j'ai tout de suite fait tendre epsilon vers 0 pour finalement intégrer "de 1 à 1"...

[invite4ef352d8]

Oui c'est ca !

qui a remplacer f par f - f(0), on peut supposer f(0)=0.
il s'agit donc de montrer que l'intégral de 0 à 1 de f(t^n) ->0 quand n->l'infini.

Soit e>0.
on prend un a<1.

| L'intégral de a à 1 de f(t^n) | =< (1-a) Sup |f|. donc quitte à prendre a assez proche de 1 on peut faire en sorte que | L'intégral de a à 1 de f(t^n) | < e/2

on vérifie facilement que l'intégrale de 0 à (a) de f(t^n) tend vers f(0)=0 (par convergence uniforme, ou à la main). Donc il existe N tel que pour tous n>N, |l'intégrale de 0 à (a) de f(t^n)|<e/2

du coup il existe n>N tel que pour tous n>N
|intégral de 0 à 1 de f(t^n)| < e cqfd.