théorème de convergence

[invite10722f67]

Bonjour,

J'aimerai savoir si quelqu'un peut m'expliquer clairement la théorème de la convergence parce que j'ai pas compris surtout avec les équations equivalente. J'ai compris quand c'est au voisinage de 0 car il y a la formule de la dérivation mais pour le voisinage de l'infinie je ne sais pas comment trouver une équivalence

Par exemple pour cette fonction

x^3 -2x +1 au voisinage de l'infini son equivalence c'est x^3

Mais comment le démontré? Est ce qu'il y a une formule?
Je dois faire une recherche sue le théorème sue la reconnaissance d'intégrales convergente à l'aide des fonction équivalentes mais je trouve pas beaucoup de site Pouvez vous m'aider SVP Merci d'avance
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[invite4ef352d8]

Salut !

tu parle de théorème de convergence de quoi ? des integrales géneralisé ??


bon deja f(x) ~ x^3 en +inf sa signifie exactement (ni plus, ni moins) que lim f(x)/(x^3) = 1 en +inf

ce que tu verifie facilement ici !



apres les théoreme de convergence pour les integrales avec des equivalent c'est :

si f est POSITIVE, que integrale de a a +inf de f converge, et que f~g en +inf, alors integral de a a +inf de g convegre.

mais il y aussi des version, avec la majoration, les o et les O...

j'ai repondu a ta question ?

[invite10722f67]

Je cherche un théorème de convergence des intégrales de la forme

+∞
∫dt/(t^α)
a

avec a Réel positif
mais si je reprend l'exemple d'intégrale
f(x)=t^3-2t²+1 = (t-1)(t²-t-1)
elle est donc positive

Sa limitie vers l'infinie donne

lim[(t^4)/4 - (2t^3)/3 +t] de a à x quand x tend vers l'infini ce qui donne l'infinie
alors cette fonction est divegrente c'est bien ça?Mais en fait je ne vois pas le rapport avec les equations equivalentes

[invite4ef352d8]

ba ici sa sert a rien parceque l'integral de f est clairement divergente.

mais sur des cas plus litigeux, ou on ne peut pas donner de primitive de f simplement ce genre de théoreme est tres utile !


sinon, pour l'integral de 0 a +inf de 1/t^a : sa ne converge jammais !!

si a <1, il y a divergence en +inf, si a>1 il y a divergence en 0.

et si a=1 sa diverge en 0 et en 1.


il faut prendre l'integral de 1 a +inf de 1/t^a pour pouvoir dire des choses : la on na convergence si et seulement si a>1.


mais tous sa peut se voir tres facilement ici aussi cas on peut donner des primitives simples !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite10722f67]

Si j'ai bien compris pour la fonction de la forme 1/t^B

il faut que B soit>1 Et pour

+∞
∫1/(t+t^3)
5

donc elle est divergente aussi alors?
puisque sa primitive donne [(-ln(t²+1)/2) + ln(t)]

ses fonctions sont tjs divergentes?

[invite4ef352d8]

non cette integral converge :

f(t) =1/(t+t^3), verifie lim f(t)*t^3 =1 donc

f(t) ~1/t^3

et donc int f(t)dt, de 5 a +oo converge pas comparaison avec int 1/t^3 qui converge car 3>1.



et si tu regarde un peu mieux, tu vera que [(-ln(t²+1)/2) + ln(t)] ne diverge pas : c'est une forme indeterminé !

en regroupant les deux log tu vera qu'elle tend vers 0.

donc ton integral vaut ln(26)/2-ln(5)

[invite10722f67]

Pourquoi multiplié f(x) par t^3? et non par autre chose?

[invite4ef352d8]

ba le principe c'est de rechercher un equivalent simple !

alors si tu multiplie par autre chose, sa va soit plus etre simple, soit plus tendre vers 1 ^^

[invite10722f67]

alors si je change f(x) par 1/(t+√t) alors je multiplie f(x) par √t? Donc l'équivalent de f(x) devient 1/√t c'est bien ça?

[invite4ef352d8]

non !

f(t)*sqrt(t), sa ve tendre vers 0

c'est t*f(t) qui va tendre vers 1.


pour voir qu'elle est l'equivalent il faut regarde ce qui est "negligeable" : t c'est petit a coté de t^3 dans t vers +inf.

donc 1/(t+t^3) c'est proche de 1/t^3

la t+sqrt(t), sqrt(t) c'est petit..

donc 1/(t+sqrt(t)) sa va plutot etre equivalent a 1/t.

[invite10722f67]

Donc la fonction f(t) =1/(t+sqrt(t)) est équivalent à 1/t
donc comme j'ai étudier sa limite qui vaut infinie alors elle est convergente c'est bien cela? Quand est ce qu'on utilise l'équivalente des fonctions au voisinage de 0? Car là c'etait bien au voisinage de infinie n'est ce pas?

Par exemple celle ci qui est 1/(t^(1/3)) elle est divergente car 1/3<1 c'est exact?
En fait c'est jamais convergente si t est seul au dénominateur est ce que c'est vrai?

Dans la fonction qui 1/(t+t^3) elle est convergente car sa limite est fini est qui vaut -1/50 est exact?

[invite4ef352d8]

Donc la fonction f(t) =1/(t+sqrt(t)) est équivalent à 1/t
donc comme j'ai étudier sa limite qui vaut infinie alors elle est convergente c'est bien cela? Quand est ce qu'on utilise l'équivalente des fonctions au voisinage de 0? Car là c'etait bien au voisinage de infinie n'est ce pas?

euh, non elle est DIVERGENTE la ! (la limite de l'integral c'est plus l'infinit)
et bien on etudit l'equivalent en 0 quand on veux savoir comment ce comporte l'integral en 0 !
par exemple si tu etudit integral de 5 a +infinit de 1/(t+sqrt(t)) tu regarde le comportement en plus l'infinit : la fonction est equivalent a 1/t donc divergente !

si tu veux son integral pres de 0 par exemple entre 0 et 5, en 0 la fonction est equivalent a 1/sqrt(t) hors l'integral de 1/sqrt(t) sa converge en 0.

Par exemple celle ci qui est 1/(t^(1/3)) elle est divergente car 1/3<1 c'est exact?
En fait c'est jamais convergente si t est seul au dénominateur est ce que c'est vrai?

l'integral de 1/t^(1/3) sa va diverger au voisinage de plus l'infinit : donc l'integral de 1 a +inf de 1/t^(1/3) sa diverge. car 1/3<1

mais si t fais l'integral de 0 a 1 de 1/t^(1/3) la sa converge, car 1/3 <1

et effectivement :

l'integral de 1 a +inf de 1/t^a converge si et seulement si a>1

l'integral de 0 a 1 de 1/t^a converge si et seulement si a<1

du coup, l'integral de 0 a +inf de 1/t^a diverge quelque soit a ! soit a cause de la discontinuité en 0, soit a cause de l'integral en + l'infinit.

[invite10722f67]

en fait tous ces equations avec les études de la convergences est ce que c'est el théorème de la reconnaissance ou c'est juste un méthode? Et si al fonction n'est plus 1/t mais f(t)=t*exp(-2t)
alors là c t qui est equivalent n'est ce pas? car il est plus grand que l'exponentiel

[invite10722f67]

la fonction t*exp(-2t) est divergente car si on étudie l'intégrale de t en tre 0 et + infinie sa limite est infinie est ce vraie?

[invite4ef352d8]

non l'integral de t*exp(-2*t) sa converge sa !!

reprend ton calcule de primitive, tu vera que sa marche !


sinon on peut le montré par compraison : (t*exp(-2t))/exp(-t) = t*exp(-t) qui tend vers 0.

donc t*exp(-2*t) = o(exp(-t)), hors l'integral de exp(-t) est convergente, donc celle de t*exp(-2*t) l'est auss !

[invite10722f67]

en fait si j'ai bien compris la fonction t*exp(-2t) est bien équivalent à t au voisinage de l'infini et pour étudier sa limite en multplie par exp(-t) les 2 équations ce qui donne

t*exp(-2t)*exp(-t) = t*exp(-t)

mais pour avoir la bonne fonction on divise par exp(-t)
ce qui donne

[t*exp(-2t)]/exp(-t)=t*exp(-t)
Et après je fais l'étude de la limite de t*exp(-t) est ce bien ça,

[invite10722f67]

j'ai fait l'étude de la limite t*exp(-t) ce qui donne -1
alors la fonctionn est bien convergente
J'aimerai savoir pour les fontions avec avec l'exponentiel est ce qu'il faut multiplié par l'exponentiel pour fair l'étude comme ici? Et est ce qu'il y a une équivalence pour l'équation exp(t)? Merci bcp pour ton aide je commence petit à petit à comprendre

[invite4ef352d8]

"en fait si j'ai bien compris la fonction t*exp(-2t) est bien équivalent à t au voisinage de l'infini"


tu as vraiment l'impression que (t*exp(-2*t))/t sa tend vers 1 ???

il y a pas d'equivalent "simple" de t*exp(-2*t), c'est deja le plus simple qu'on puisse ecire !

en revanche t*exp(-2*t) c'est "negligeable" devant exp(-t) : (t*exp(-2*t) ) /(exp(-t)) = t*exp(-t) qui tend vers 0 !, donc t*exp(-2*t) = o(exp(-t)), hors l'integrale de exp(-t) converge, donc l'integral de t*exp(-2*t) converge aussi

mais j'ai l'impression que tu confond la limite de la fonction et la limite de l'integral aussi...

"j'ai fait l'étude de la limite t*exp(-t) ce qui donne -1"
non, t*exp(-t) sa tend vers 0 !!!

[invite10722f67]

bon on va essayer avec un plus simple car là je suis un peu perdue!! alors

prenons par exemple tout simplement la fonction exp(t) pour étudier sa convergente j'étudie sa limite vers l'infinie mais son équivalence au voisinage de +infinie c'est quoi? et en au voisinage de 0?

[invite10722f67]

j'ai pas compris pourquoi t*exp(-t) tends vers 0 puisque sa primitive donne
-t*exp(-t)-exp(-t) or
on étudie lim F(x) quand x tends vers infinie donc on étudie la lim de [-t*exp(-t)-exp(-t)] entre 0 et x et ce qui donne -1 non? Où ce n'est aps comme ça qu'il faut faire

[invite4ef352d8]

c'est bien ce que je craignais :

tu confond la limite de la fonction et la limite de l'integrale.


quand je dis t*exp(-t) tend vers 0, sa veux dire que lim t*exp(-t) quand t tend vers +inf = 0


sinon on parle de l'integral de t*exp(-t)


relis bien tous le topic avec sa en tete, tu comprendra surement mieux !!


NB : il n'y a pas d'equivalent plus simple que exp(t) pour exp(t) ! tous ce qu'on peut dire c'est que exp(t) "domine" tous les t^n : c'est a dire que pour tous n exp(t)/(t^n) tend vers plus l'infinit !
et dans l'autre sens, pour tous n, t^n*exp(-t) tend vers 0.

[invite10722f67]

alors la fonction exp(t) est convergente puisque elle tends vers 0 c'est exact?
Je recapitule
la fonction t*exp(-t) tends vers 0 donc elle est convergente
si je prends un autre exemple qui est t²*exp(3t) est ce que je peux faire [t²*exp(3t)]/epx(t) est équivalent à
t²*exp(t) est ce que c'est vrai? Et donc cette fonction est convergent car elle tends vers l'infini

[invite10722f67]

pour étudier la convergente il ne faut pas étudier la limite de la fonction c'est à dire la limite de la primitive mais celui de l'intégrale c'est bien ça?

[invite4ef352d8]

oula !! tu melange tous la !!!


la limite de la fonction, c'est la limite de la fonction, un point c'est tous.


"une fonction convergente" sa veux dire qu'elle a une limite!

toi ce qui t'interesse c'est de savoir si oui ou non les integrales converge : par exemple de savoir si integral de 1 a +inf de f(t)dt est definit, ou bien tend vers +inf :
c'est a dire de savoir si l'integrale de f(t)dt de 1 a x, converge quand x tend +inf
(quand je disait l'integral converge c'est de sa dont je parlais)

pour sa tu peut calculer une primitive de f et voir si elle a une limite finit ou non en +inf.



essai de bien cerné deja sa et apres de reprendre mes messages precedent avec sa en tete, parceque la tu confond tous !!

[invite10722f67]

Merci beaucoup pour ton aide je vais revoir tout ça! car j'ai l'impréssion que c pas facile
kiss