Nombre premier

[invite3db07547]

Je cherche à démontrer la propriété suivante en arithmétique :
Toute puissance entière d'un nombre premier de la forme 4n+1 s'écrit d'une seule manière sous la forme d'une somme de deux carrés premiers entre eux.
Merci
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[invite69d38f86]

Bonsoir
je n'ai pas bien compris
Par exemple 9*9=81 s'écrirait comme quelle somme?

[invite4ef352d8]

Le premier point est que si a et b sont somme de deux carré, alors ab aussi :

en effet si a=u²+v², b=w²+x²
alors tu peut vérifier que :
(aw-xv)²+(vw+ux)²=ab


il reste donc à montrer qu'un nombre premier de la forme (4m+1) est somme de deux carré.

pour cela la methode classique est d'étudier l'anneau A=Z[i]. il faut d'abord montrer qu'il est principale (car il est euclidien pour la valeur absolue classique). il est donc factorielle.

Si on ce donne un nombre premier p de la forme 4m+1 , alors l'anneau A/(p) = Z[i]/(p) = Z[X]/(x²+1,p) = (Z/pZ)[X]/(X^2+1)

or comme p est congru à 1 mod 4, (Z/pZ)* est cyclique d'ordre divisible par 4 et donc il existe m telle que m²=-1 dans Z/pZ, ie (X²+1) n'est pas irreductible dans Z/pZ, et donc A/(p) n'est pas intègre, ie (p) n'est pas premier dans A. comme A est factorielle,il existe des element premier de A, p1*p2*..*pk=p.

on regarde ensuite les valeur absolue au carré de ses elements (qui sont des entier) on a alors |p1|²...|pk|²=p² , avec |pi| différent de 1 (sinon |pi| serait inversible dans A). donc il existe exactement deux |pi|² dans cette ecriture, et ils valent p tous les deux (il ne peut y en avoir qu'un car sinon p serait iréductible ).

du coup |p1|²=p, si on ecrit que p1=a+ib, alors |p1|²=p=a²+b²


Bon il y a plusieur facon de faire cela... mais globalement c'est plus ou moins toujour les memes argument qui sont utilisé...

[invite4ef352d8]

euh... oui moi j'ai interpréter comme :

"Toute puissance entière d'un (nombre premier de la forme 4n+1) ... "


si tu voualsi dire "(Toute puissance entière d'un nombre premier) de la forme 4n+1 ... "
c'est pas beaucoup plus compliqué : si le nombre premier en question est congru à 1 modulo 4, c'est le cas précedent, et si il est congru à 3 modulo 4 l'exposant est forcement paire, et donc le nombre s'écrit comme p^(2k)=(p^k)² +0²

comme 81 par exemple (au passage, 9 comme nombre premier c'est pas terrible )

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Oui, mais dans la seconde interprétation "(Toute puissance entière d'un nombre premier) de la forme 4n+1", 9 est bien de la forme 4n+1 et c'est bien une puissance du nombre premier 3.
Et cette puissance, 9 (et non 81), s'écrirait comme quelle somme de carrés ? A part 0+9, mais 0 et 9 sont-ils premiers entre eux ? Je ne sais pas si l'expression a un sens lorsqu'un des entiers est 0...

Donc c'est bien la première interprétation qui est la bonne : "Toute puissance entière d'un (nombre premier de la forme 4n+1)"
Exemple 5=4+1, 25=16+9, 125=121+4=100+25
1 et 4 sont premiers entre eux, 9 et 16 sont premiers entre eux, 4 et 121 sont premiers entre eux, mais pas 25 et 100.

[invite69d38f86]

neuf premier!
J'étais mort de honte en me couchant hier, ne pouvant effacer la réponse.
Ce matin je suis toujours vivant et en forme.
C'est bon la honte.

[invite3db07547]

Merci Ksilver mais tu me donnes la démonstration du "petit théorème" de Fermat. Je précise ma question par quelques exemples :
13=4x3+1 est un nombre premier de la forme 4m+1
On a 13=3²+2² seule décompositions de 13 en somme de deux carrés premiers entre eux.
On a 13²=12²+5²=13²+0²
Il existe exactement 2 décompositions de 13² en somme de deux carrés une seule des décompositions (12²+5²) ayant ses termes premiers entre eux.
On a 13^3=46²+9²=39²+26²
Il existe exactement 2 décompositions de 13^3 en somme de deux carrés une seule des décompositions (46²+9²) ayant ses termes premiers entre eux.
On a 13^4=119²+120²=156²+65²=(13²)² +0²
Il existe exactement 3 décompositions de 13^4 en somme de deux carrés une seule des décompositions (119²+120²) ayant ses termes premiers entre eux.
etc.
J'ai réussi à démontrer que, p étant un nombre premier de la forme 4m+1 et k un entier naturel quelconque, p^k se décompose en exactement k/2 +1 somme de deux carrés si k est pair et (k+1)/2 sommes de deux carrés si k est impair.
Je n'ai pas réussi à démontrer que, dans tous les cas, il existe une et une seule décomposition en somme de deux carrés premiers entre eux.

[invite4ef352d8]

quand on parle de décomposition en somme de carré, on compte les décompostions en n²+0², et on se moque completement du fait que les deux élements sont ou ne sont pas premier entre eux. ce sont ces convention qui permettent d'obtenir les théorèmes classique, qui donne exactements la liste des nombres qui s'écrivent comme somme de carré et qui donne le nombre exacte de telle décomposition.

[invite4ef352d8]

oh oui escuse moi j'avait mal lu ton message.

le résultat que tu cherche à montrer est faux à ma connaissance.

[invite3db07547]

Je ne crois pas que le résultat que je cherche à démonter soit faux.
S'il est faux, autrement dit s'il existe plus d'une décomposition en somme de deux carrés premiers entre eux, alors le nombre des décompositions de p^k en somme de deux carrés, à savoir [k/2]+1 si on note [ ] la partie entière, est faux également. Or ce nombre est confirmé par maints auteurs.
Mais, bien sûr, un contre-exemple démontrerait que la proposition que je soumets est fausse. Je n'en ai trouvé aucun pour l'instant...

[invite4ef352d8]

pour être plus précis, 9=0+3² est la seul écriture et 0 et 3 ne sont pas premiers entre eux. (3 est un divisseur commun... )


en revanche, j'ai été un peu vite, mais ca marche dans le cas p congru a 1 modulo 4 : les différentes facon d'écrire p^k comme somme de deux carrés, correspondent aux elements de Z[i] qui sont de norme p^k et de telles elements sont les produit d'élements de norme p.
de telles élements sont les facteurs de p. or si il y en à deux distincts, l'elements en questions va etre divisible par p et donc les deux carrés vont être divisible par p.
les seuls facon d'obtenir p^k comme de deux carrés premier entre c'est donc de prendre la norme de p1^k ou de p2^k avec p1p2=p.
comme p1 et p2 sont conjugué on obtiens bien une unique décomposition en somme de deux carré.
enfin, sous réserve que cette fameuse décomposition est bien en deux carré premier entre eux. mais cela viens du fais que si les deux coef n'était pas premier entre eux notre p1^k serait divisible par un entier, et donc au aurait un entier d telle que p1^u=d (enfin à une unité pres) et ca c'est pas possible, parceque les entier ce décompose pas de cette facon en facteur premier.

[invite69d38f86]

N'ayant plus honte de rien, je propose ceci
17*17*17 = 4913 = 17*17 + 68*68 = 47*47 + 52*52

[invite3db07547]

17=4x4+1 est bien un entier premier de la forme 4n+1.
17^3 a bien exactement 2 décompositions en somme de deux carrés.
68=4*17 donc 68 et 17 ne sont pas premiers entre eux...
17^3=47²+52² est l'unique décomposition de 17^3 dont les termes sont premiers entre eux.
Merci Ksilver pour ta démonstration sur laquelle je vais devoir plancher, n'étant pas familier avec les calculs dans l'anneau Z[i] !
Je cherchais une démonstration plus élémentaire (pour moi).

[invite4ef352d8]

Et bien, dis moi qu'elle outils tu as utilisé pour prouver les résultats que tu énonce, et ca me donnera peut-etre une idée pour donner une preuve utilisant les mêmes outils...

[invite3db07547]

Je démontre, par récurrence, que p^k est décomposable en une somme de deux carrés, l'une des décompositions ayant ses termes premiers entre eux. Partant de l'identité:
(a²+b²)(c+d²)=(ac+bd)²+(ad-bc)²=(ad+bc)²+(ac-bd)²,
et d'une décomposition de p^i en somme de deux carrés supposés premiers entre eux, j'obtiens, pour p^(i+1)=p^i*p, deux décompositions dont l'une (au moins) a ses termes premiers entre eux. Je pense (et suis presque certain) que l'autre décomposition a ses deux termes divisibles par p donc non premiers entre eux. Mais je n'arrive pas à établir ce dernier point...
Bien entendu, p=r²+s² avec r et s premiers puisque p est premier de la forme 4n+1.