Il était une fois une homothétie. Ou pas !

[invitec9a9f4a6]

Bonjour à tous.

Je bloque sur un problème d'algèbre, des indices seraient les bienvenus :

Soit f un endomorphisme canoniquement associé à une matrice M de M_n(K) de trace nulle (la matrice est non nulle).
On veut montrer que f n'est pas une homothétie.

Pour montrer que f n'est pas une homothétie il faudrait que je montre qu'il existe un x appartenant à Kⁿ tels que pour tous scalaires L, f(x) soit différent de L.x.
Etant donné le contexte je pense qu'il faut transposer se problème portant sur un endomorphisme en un problème portant sur les matrices.
Je ne vois pas vraiment à quoi peut me servir l'hypothèse selon laquelle la trace est nulle

Voilà, en espérant qu'on pourra me mettre sur la voie. Merci et bonne journée
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[invitea0b22930]

La trace d'un endomorphisme est la somme des éléments diagonaux de cette matrice. c'est un invariant de similitude.
Quelle est la matrice d'une homothétie relativement à n'importe quelle base ?

[invited73f5536]

Bonjour.

Juste un point sur le raisonnement :

Pour montrer que f n'est pas une homothétie il faudrait que je montre qu'il existe un x appartenant à Kn tels que pour tous scalaires L, f(x) soit différent de L.x.

f est une homothétie si .
La négation de cet affirmation est donc :

Dans ce que tu essayes de prouver, tu as inversé deux quantificateurs.

[invitec9a9f4a6]

En utilisant la matrice d'une homothétie et en raisonant par l'absurde ça allait tout seul. Merci pour l'idée
Ainsi que pour l'erreur de raisonnement, j'ai du mal à bien structurer mon raisonnement encore...

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]