Les définitions de l'infini

[invitec7c23c92]

Bonjour,

Un topic d'à côté m'a amené à me poser quelques question sur les façons de définir l'infini en théorie des ensembles.

Il y a au moins deux définitions classiques :
- E est dedekind-infini (en abrégé : DI(E) ) s'il existe une bijection entre E et une de ses parties propres.
- E est dit tarski-infini (en abrégé : TI(E) ) si toute famille non vide de parties de E admet un élément minimal pour l'inclusion.

On voit que DI() et TI() sont deux énoncés I() du langage de la théorie des ensembles, qui vérifient les axiomes suivants :

(i) non I( {} )
(ii) I( N ), où N est l'ensemble des entiers naturels.
(iii) Si A est inclus dans B, alors I( A ) => I( B )
(iv) Pour x élément quelconque, I( A U {x} ) => I( A )
(v) Si A et B sont en bijection, alors I( A ) <=> I( B )

On peut montrer, je pense, assez facilement, que dans ZFC il n'existe à équivalence près qu'une seule propriété I() vérifiant les axiomes (i) à (v). Par contre, dans ZF sans axiome du choix, DI => TI mais la réciproque est fausse.

J'aimerais en savoir un peu plus sur la situation dans ZF. Quelques questions en vrac :

- Existe-t-il d'autres définitions "bien connues" d'ensemble infini? (et non équivalentes à TI et DI)

- Si non : peut-on montrer qu'il n'existe à équivalence près que deux propriétés I() vérifiant les axiomes (i) à (v) ?

- Si oui : que sait-on sur l'ensemble des I() à équivalence près? Sont-ils hiérarchisés (I1 => I2 ou I2=>I1) ?
Y en a-t-il un plus faible que tous les autres (je pense que oui : ce doit être TI)?
Y en a-t-il un plus fort que tous les autres (je pense que oui : ce doit être DI)?
Y en a-t-il des plus forts que TI mais plus faibles que DI ?

- Que se passe-t-il si on ajoute simplement au langage de ZF un prédicat I(), ainsi que les cinq axiomes (i) à (v) ? Quel paysage cette notion abstraite d'infini dessine-t-elle?

- Ces questions sont-elles étudiées? triviales? sans intérêt?


Bonne journée
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[invitec7c23c92]

- E est dit tarski-infini (en abrégé : TI(E) ) si toute famille non vide de parties de E admet un élément minimal pour l'inclusion.

Pardon, il faut lire le contraire :
Il existe une famille non vide de parties de E sans élément minimal pour l'inclusion.

[Médiat]

- Existe-t-il d'autres définitions "bien connues" d'ensemble infini? (et non équivalentes à TI et DI)

Un ensemble est fini ssi il existe une bijection entre cet ensemble et un segment initial propre de . Mais, voir ci-dessous pour plus de définitions.

- Si non : peut-on montrer qu'il n'existe à équivalence près que deux propriétés I() vérifiant les axiomes (i) à (v) ?

Question qui n'a pas sens, à mon sens, dans la mesure où on parle d'une définition

- Que se passe-t-il si on ajoute simplement au langage de ZF un prédicat I(), ainsi que les cinq axiomes (i) à (v) ? Quel paysage cette notion abstraite d'infini dessine-t-elle?

Il existe un très bon article sur la notion de finitude : http://www.math.uchicago.edu/~damir/files/relfin.pdf

Dont voici un court extrait sur les définition de "fini" :

Definition A set X is:
(1) I-finite if every non-empty family of subsets of X has a maximal (or minimal) element under inclusion.
(2) Ia-finite if it is not the disjoint union of two non-I-finite sets.
(3) II-finite if every family of subsets of X linearly ordered by inclusion contains a maximal element.
(4) III-finite if there is no one-to-one map from P(X) into a proper subset of P(X).
(5) IV-finite if there is no one-to-one map from X into a proper subset of X.
(6) V-finite if X =[TEX]\emptyset or there is no one-to-one map from 2 × X into X.
(7) VI-finite if X is empty or a singleton, or else there is no one-to-one map from X × into X.
(8) VII-finite if X is I-finite or it is not well-orderable.

Et la suite est encore mieux .

J'ai lu il y a quelques mois une article intéressant sur une définition originale de la notion de "taille d'un ensemble" : http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/21.pdf

Ainsi qu'une thèse très intérressante sur la finitude au sens de Dedekind : http://www.maths.leeds.ac.uk/~agatha/

- Ces questions sont-elles étudiées? triviales? sans intérêt?

La réponse va de soi, non .

[invitec7c23c92]

Wow.

C'est très intéressant! Merci pour les références, c'est exactement ce qui me branchait

(Je crois que j'aurai quelques commentaires et questions à poser, mais là il est trop tard pour réfléchir...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je corrige l'orthographe et deux oublis :

Dont voici un court extrait sur les définitions de "fini" :

Definition A set X is:
(1) I-finite if every non-empty family of subsets of X has a maximal (or minimal) element under inclusion.
(2) Ia-finite if it is not the disjoint union of two non-I-finite sets.
(3) II-finite if every family of subsets of X linearly ordered by inclusion contains a maximal element.
(4) III-finite if there is no one-to-one map from P(X) into a proper subset of P(X).
(5) IV-finite if there is no one-to-one map from X into a proper subset of X.
(6) V-finite if X = or there is no one-to-one map from 2 × X into X.
(7) VI-finite if X is empty or a singleton, or else there is no one-to-one map from X × X into X.
(8) VII-finite if X is I-finite or it is not well-orderable.