topologie. application ouverte de R vers R

[invitec6f8008c]

j'ai rencontré le problème suivant:montrer que toute application ouverte de R vers R est strictement monotone. s'il vous plait j'espere que vous prendrez de votre temps pour m'aider à résoudre ce problème.
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[invite642cafc1]

Si la seule chose supposée sur la fonction est d'être ouverte alors c'est faux. Si on suppose en plus qu'elle est continue alors c'est du classique.

Un contre-exemple peut être construit ainsi (je ne sais pas si on peut faire plus simple, il n'est pas évident de construire des applications ouvertes discontinues) :
Le quotient R/Q où R et Q sont munis de leur addition usuelle est de la puissance du continue. On peut donc construire une bijection (sa surjectivité nous intéresse surtout) f : R/Q->R.
La fonction composée foq où q est la projection de groupe R->R/Q est ouverte mais à haute teneur en non monotonie.
Elle est en effet ouverte puisque tout ouvert contient au moins un représentant de n'importe quelle classe de R/Q (car x+Q est dense pour tout x) donc son image par foq est R en entier lui même qui est ouvert.

Si f est en plus continue montrons que f est strictement monotone ou autrement dit f conserve la propriété d'être "strictement compris entre".
Pour tout triplet x,y et z (distincts) avec y compris entre x et z alors f(y) est strictement compris entre f(x) et f(z). En effet, f(]x,z[) est un ouvert (non vide) et est connexe (f continue) donc est un intervalle ouvert ]x',z'[ avec x'<z'. Or, f ([x,z])= f(]x,z[)U{f(x),f(z)} est un intervalle fermé [m,M] (m et M finis donc x' et z' de même car dans l'intervalle). Or, ]x',z'[ est inclus dans ]m,M[ donc {m,M} = {f(x),f(z)} et f(y) est compris entre f(x) et f(z).