Nombres premiers très isolés

[invitef6580c44]

Bonjour

Est-t-il vrai que pour tout entier k, il existe une infinité de nombres premiers "k-isolés"?

PS: par "k-isolés", j'entends: à une distance au moins égal à k des nombres premiers immédiatement précédant et suivant.


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[invite93e0873f]

Si cette proposition était quelque chose de démontré, alors cela impliquerait qu'il existerait une infinité de nombre premier situé à 2 chiffres d'un autre nombre premier, ce qu'on appelle des nombres premiers jumeaux. Or, cette dernière proposition demeure une conjecture jusqu'à présent et s'appelle communément la conjecture des nombres premiers jumeaux. Il s'agit de l'un des quatre problèmes de Landau sur les nombres premiers, tous irrésolus.

Néanmoins, l'énoncé plus général que tu poses est aussi une conjecture. Bref, ta question n'a pas encore de réponse autre que 'on ne sait pas'.

[Médiat]

Bonjour,

Si cette proposition était quelque chose de démontré, alors cela impliquerait qu'il existerait une infinité de nombre premier situé à 2 chiffres d'un autre nombre premier

Pas du tout :

à une distance au moins égal à k

On sait que la distance moyenne entre deux premiers inférieus à n est de l'ordre de ln(n), mais je ne sais pas si ta question est résolue ou non...

[invitec7c23c92]

Bonjour,

J'ai fait une recherche informatique rapide pour voir quels étaient les premiers nombres premiers isolés, et j'ai soumis ça à l'Encyclopédie des suites entières.

La suite y figure en plusieurs variantes, dont celle-ci :
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A023186

Il y est dit : "Erdos and Suranyi call these reclusive primes and prove that there are an infinite number of them." avec la référence : Paul Erdos and Janos Suranyi, Topics in the theory of numbers, Springer, 2003.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

En effet merci Médiat de m'avoir fait remarquer le 'au moins'. Mon commentaire tient donc pour une égalité stricte où il y aurait une infinité de nombre premiers distants de k unités d'un autre nombre premier.