Calcul des modes dans l'équation de la chaleur

[invite027c07f8]

Bonjour,
Voici l'exercice que j'essaye de résoudre :

Sujet :

Soit l'équation de la chaleur sur la barre [ 0, pi ]
ut - uxx = F(x)

ut : dérivée première en temps
uxx : dérivée seconde en espace

F est une source de chaleur, on supposera la température fixée au bord gauche et un flux nul au bord droit

u (x=0,t)=ul
ux (x=pi,t)=0

et la condition initiale u(x,t=0)=u0(x)

1) soit v la nouvelle variable définie par

v=u-ul

Montrer que l'équation en v est la meme que celle en u avec les conditions aux limites homogènes

v(x=0,t)=0 et vx(x=pi,t)=0

Il suffit de dire que ul est un constante donc vt = ut et vxx = vtt

2) Écrire la solution du problème homogène en v sous la forme v=f(x).g(t). Résoudre pour f,g et en déduire que les modes vn(x) associés sont vn(x)=sin ( (2n+1)x/2 avec n entier

merci de m'aider pour la question 2 , je ne vois pas ce que je dois faire

f(x).g'(t) - f''(x).g(t)=F(x)

Mais après ? que faire du F(x) ?


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[Scorp]

Ce qu'on te demandes de faire c'est de procéder par séparation des variables (c'est classique pour ce genre d'équation).
En gros, tu supposes que tes solutions sont de la formes .

Tu peux alors injecter cette forme dans ton équation de départ. Sachant que f est une fonction uniquement de x, et g de t, tu pourras en déduire les dérivées ut et uxx :


et

Le but est alors de séparer les fonctions pour mettre dans le terme de gauche que des fonctions de la variable x, et dans celui de droite que de la variable t.
Tu auras alors quelque chose du type valable pour tous x et t ! C'est le point central, car comme c'est valable pour tous x et t, tu peux en déduire que ces fonctions sont constantes. Tu obtiens donc 2 équations : F(x)=G(t)=C avec C une constante.

Tu peux donc finir de résoudre le problème.

Maintenant, tu as donc 2 équations, une pour F faisant intervenir que des f et la variable x, une autre pour G, faisant intervenir que g et t. Ces deux équations sont des équations différentielles du premier (pour g) et second (pour f) ordre d'une variable, donc que tu sais résoudre !

[invite027c07f8]

Merci pour cette réponse très claire

J'ai donc :

g(t)=C.e(kt)

et f(x)=Acos(kx)+bsin(kx)

donc vn(x)=Ce(kt).[Acos(kx)+bsin(kx)]

v(x=0,t)=0 donc 0=Ce(kt).A donc C.A=0

vn(x)=Ce(kt).[bsin(kx)]

vx(x=pi,t)=0

soit vn(x)=0

alors que je dois obtenir, vn(x)=sin((2n+1)x/2)

Merci pour la réponse !

[Scorp]

Merci pour cette réponse très claire

J'ai donc :

g(t)=C.e(kt)

et f(x)=Acos(kx)+bsin(kx)

donc vn(x)=Ce(kt).[Acos(kx)+bsin(kx)]

v(x=0,t)=0 donc 0=Ce(kt).A donc C.A=0

vn(x)=Ce(kt).[bsin(kx)]

vx(x=pi,t)=0

soit vn(x)=0

alors que je dois obtenir, vn(x)=sin((2n+1)x/2)

Merci pour la réponse !

C'est pas mal, mais il y a juste un passage ou tu vas trop vite.
Tu arrives bien à (j'explique ce détail sur le -k² plus loin)

et vx(x=pi,t)=0 Le problème, c'est que tu en tire la mauvaise conclusion.

vx(x,t)=B.exp(-k²t).k.cos(kx) au passage, tu peux contracter tes 2 constantes C et b en une seule B, ca revient au même et ca évite de se trimbaler des constantes de partout.

On a donc avec la condtion aux limites que B.exp(-k²t).k.cos(pi.k)=0 pour tout t. Or B ne peut pas être nul, sinon on n'a plus de solution. exp(-k²t) n'est pas nul. On a donc soit k=0, ce qui revient à une solution constante, donc pas très intéressante (on le savait depuis le début pour le problème homogène).
Il reste donc la possibilité cos(pi.k)=0 qui là, a des solutions intéressantes. le cosinus s'annule lorsque pi.k vaut pi/2 fois un nombre entier impaire (cf. le cercle trigo pour t'en convaincre).
On peut donc écrire que pi/2.(2n+1)=pi.k, ce qui nous donne k=(2n+1)/2 pour tout n entier.

On a donc au final :

Il te reste donc a traiter la solution particulière avec F(x) il me semble.

Pour revenir sur le détail plus haut. Il faut faire attention lorsque tu résout l'équation. Notamment, on voit ici que ta solution n'est pas homogène au niveau des dimensions puisque tu as écrit Ce(kt).[bsin(kx)]. Or exp et sin sont des fonctions, donc prenant des nombres sans dimension en paramètre. Or k.t et k.x ne peuvent pas être sans dimension : c'est donc que tu as fait une erreur.

Lorsque tu résouds ton équation avec g, tu as bien A.exp(kt). Cependant, puisqu'on cherche des solutions physiques, on ne veut pas d'une solution qui diverge dans le temps. Ca impose donc que le k soit négatif. On pose donc pour la suite que k=-k'². Comme ca , on est sûr du signe. Ensuite, j'ai enlevé le ' du k pour ne pas alourdir les notations. Ainsi, quand tu résouds la seconde équation, tu as f''+k²f=0 ce qui te donnera bien une solution en sin(kx) et cos(kx)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite027c07f8]

Merci beaucoup,

J'ai une dernière question,

On me demande ensuite de vérifier l'orthogonalité du mode vn avec le mode vm pour n différent de m

Quelle est la méthode ?

Merci encore pour les explication qui sont vraiment très claires

[invite027c07f8]

Up svp !!!

[Scorp]

Merci beaucoup,

J'ai une dernière question,

On me demande ensuite de vérifier l'orthogonalité du mode vn avec le mode vm pour n différent de m

Quelle est la méthode ?

Merci encore pour les explication qui sont vraiment très claires

Il n'y a pas plus d'indication ? Vers quoi on veut t'amener ?

En tout cas, pour les fonctions, c'est comme pour les vecteurs : on dit que f et g sont orthogonales si le produit scalaire de f par g est nul. Pour les fonctions, il faut donc définir un produit scalaire. Pour les fonctions périodiques de période T, on va prendre le produit scalaire suivant : . f et g seront donc orthogonales si



Sinon, c'est quoi exactement vn pour toi (on n'a pas forcément les mêmes notations).

Si c'est alors on a en fait avec k entier impaire (k=2n+1). On peut alors rapprocher cette écriture de la famille des avec k entier de la théorie des séries de Fourier. On sait que cette famille est orthogonale (on peut utiliser un produit scalaire définit par une intégrale : on aura alors que si n différent de m).
Donc en particulier, ceci est vrai quand on prend uniquement n et m impaire, (car c'était valable pour tout entier) toujours avec n différent de m. Ainsi, tu devrais pouvoir montrer que (à toi de choisir correctement T pour que ca marche avec ce que j'ai écrit avant).

Donc normalement, si je n'ai pas fait d'erreur, on vient de montrer que cette famille des vn est orthogonale.

P.S : Moi je passe par Fourier parce qu'ainsi le résultat est connu. Mais tu peux également calculer l'intégrale et montrer que ca vaut 0, ca reviendra au même (fait le calcul si tu ne l'as jamais fait, c'est un calcul classique)


Si ce n'est pas ca, ba je ne vois pas trop ce qu'il faut faire
De même, j'ai du mal à voir à quoi ca peut servir de montrer ca ???

[invite027c07f8]

Merci beaucoup encore une fois pour la réponse

Effectivement, cet exercice peut paraitre bizarre comme tous les exercices que ce prof a donné ... lol

La dernière question de l'exercice est :

On supposera que l'ensemble {vn, n appartient a Z) forme une base complète, écrire la solution du problème avec F en utilisant le développement de F sur les vn.

Merci encore

[Scorp]

Merci beaucoup encore une fois pour la réponse

Effectivement, cet exercice peut paraitre bizarre comme tous les exercices que ce prof a donné ... lol

La dernière question de l'exercice est :

On supposera que l'ensemble {vn, n appartient a Z) forme une base complète, écrire la solution du problème avec F en utilisant le développement de F sur les vn.

Merci encore

Ha oui, ok. Non, ce n'est pas bizard en fait. c'est juste que je n'avais pas le problème entier sous les yeux.

En fait, tu as du remarquer que pour le moment, tu n'as traité que l'équation homogène. A aucun moment on a utilisé la fonction source F(x). Le problème est donc de trouver une solution particulière de l'équation. Comme ca, on aura comme pour toute équa diff la solution a ton problème de la forme f=fg+fp, avec fg les fonctions générales du problème homogène, et fp une fonction solution particulière du problème complet.

La dernière question est faite pour ca et nécesite effectivement de montrer que les vn forment une base complete et orthogonale pour pourvoir ensuite décomposer la fonction F sur cette base et ainsi résoudre le problème