Discrétisation de l'équation de la chaleur par la méthode des différences finies

[invite359f3846]

Bonjour,

Voilà, j'ai discrétisé l'équation de la chaleur par la méthode des différences finies et j'aimerais avoir votre avis (est-ce que mon calcul est juste?).
Je vous demande ça parce que j'ai trouvé sur un autre site, une autre formule différente de la mienne et je n'arrive malheureusement pas à trouver comment l'auteur est parvenu à ce résultat (url: http://perso.fundp.ac.be/~amayer/cou...r/Chaleur.html)

Tous mes calculs sont disponibles dans un fichier pdf à l'adresse:http://www.rodsoft.be/equation_de_la_chaleur.pdf

Un grande merci!
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[invite359f3846]

L'auteur trouve:

avec,

[invitec336fcef]

La formule de l'auteur est évidemment correcte et permet de prendre en compte les gradients spatiaux pour le coefficient (qui inclut la conductivité thermique, la masse volumique et la capacité calorifique de la phase dans laquelle la chaleur diffuse).

Tes calculs sont cependant plus compliqués. Bien entendu, tu peux développer les termes, mais cela est plus délicat pour les produits du premier ordre, notamment le terme :


Ce qui peut être faux dans certains cas, c'est l'assertion :


Dans l'absolu, toute méthode peut donner des résultats satisfaisants, mais je t'engage quand même à étudier la stabilité de ton schéma. Pour le schéma de l'auteur que tu donnes, il y a une condition de stabilité qui est relativement simple à vérifier. Mais pour le schéma que tu utilises, ce n'est peut-être pas le cas.

++

[invite359f3846]

Tout d'abord, je te remercie d'avoir pris le temps de répondre à mon post !

La formule de l'auteur est évidemment correcte et permet de prendre en compte les gradients spatiaux pour le coefficient (qui inclut la conductivité thermique, la masse volumique et la capacité calorifique de la phase dans laquelle la chaleur diffuse).

Je ne vais pas faire semblant de comprendre ce que tu dis . Quand tu parles de gradients spatiaux, de quoi veux-tu parler? Qu'est-ce qui change par rapport à la méthode que j'utilise? Est-ce que ça un rapport avec ta dernière remarque sur ma séparation des dérivées partielles?

Mon but est de retomber sur la même formule que l'auteur, chose que je ne suis pas arrivé à faire pour le moment .

Tes calculs sont cependant plus compliqués. Bien entendu, tu peux développer les termes, mais cela est plus délicat pour les produits du premier ordre, notamment le terme :


Ce qui peut être faux dans certains cas, c'est l'assertion :

Si les fonctions sont continues, c'est Ok non? Ce qui me fait penser que mon coefficient de conduction change brutalement aux interfaces, oups!

Dans l'absolu, toute méthode peut donner des résultats satisfaisants, mais je t'engage quand même à étudier la stabilité de ton schéma. Pour le schéma de l'auteur que tu donnes, il y a une condition de stabilité qui est relativement simple à vérifier. Mais pour le schéma que tu utilises, ce n'est peut-être pas le cas.
++

Tu l'auras sûrement remarqué, je suis nouveau là-dedans. Je fais ça sur mes temps libres . Je n'ai aucune idée de la manière de calculer la stabilité de mon schéma lol, ce n'est pas faute d'essayer. Pour les ondes EM, je sais qu'on prend en compte la vitesse de l'onde (on a donc une relation entre l'espace x et le temps t).

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Pour le multicouche voilà déjà ce que j'ai fais.
En gros tu considère un flux "pompé" de la vapeur , tu fais
Tu obtiens , avec la température de ta vapeur et la température de l'eau au contact de la 2° plaque.
Ici tu introduit le flux de pertes (donné dans l'autre post).
Tu obtiens le second flux arrivant sur la seconde plaque (). Ici c'est tout bête, à l'état stationnaire bin . Ici problème, il faut trouver (comme ça tu trouve , tu connais p, donc tu connais le flux extrait de la vapeur en fonction de ) mais un polynome du 4° degré analytiquement je connais pas (heuresement d'ailleurs) et je sais même pas si c'est faisable (ça doit etre le 5° degré qui est impossible).

Ya encore 2/3 trucs à régler (les unités par exemple, pour le flux de perte j'ai oublié l'épaisseur du réseau d'eau). Enfin bref vérifie les unités c'est pas long mais je pense pas avoir oublié grand chose (ha si un détail : les coefficients de convection c'est pas les coefficients surfaciques, il faut prendre les coeff et les multiplier par la surface de contact).

[invite359f3846]

Je pense que t'es planté de post obi76

[obi76]

houla oui... ben maintenant faut faire de la recherche documentaire sur les posts

pardonnez moi je suis complètement à l'ouest ce soir.

[invitec336fcef]

Je ne vais pas faire semblant de comprendre ce que tu dis . Quand tu parles de gradients spatiaux, de quoi veux-tu parler? Qu'est-ce qui change par rapport à la méthode que j'utilise? Est-ce que ça un rapport avec ta dernière remarque sur ma séparation des dérivées partielles?

Ce que je voulais dire, et pardon si ce n'était pas très clair, c'est que dans ton équation de la chaleur, les coefficients varient spatialement. Je rappelle l'équation de la chaleur unidimensionnelle :



où donc varient en fonction de x. C'est ce que j'entends pas gradients spatiaux. Plus simplement, beaucoup d'auteurs considèrent que ces coefficients sont constants sur la plage de température qu'ils considèrent. Ce qui change dans ta méthode, c'est justement que le coefficient varie donc avec x, ce qui est beaucoup plus délicat à traiter d'un point de vue des différences finies.

Mon but est de retomber sur la même formule que l'auteur, chose que je ne suis pas arrivé à faire pour le moment .

là est le hic ! Si tu utilises une méthode différente, tu ne retomberas pas (à moins d'un coup de bol) sur la formule exacte obtenue par l'autre auteur. En revanche, le résultat numérique obtenu sur T(x,t) peut être sensiblement proche. Tout est une question de précision et de temps de calcul, au final.

Si les fonctions sont continues, c'est Ok non? Ce qui me fait penser que mon coefficient de conduction change brutalement aux interfaces, oups!

Disons que si sont suffisamment petits, je pense que ça doit marcher. Mais, dans le doute, je demanderai l'avis d'un mathématicien brut (je ne suis qu'un pauvre petit physicien).

Je n'ai aucune idée de la manière de calculer la stabilité de mon schéma

Pour étudier la stabilité de ton schéma, il faut faire une analyse de Von Neumann utilisant l'espace de Fourier. En Gros tu considères une solution décomposable en série de Fourier, ce qui te donnera une condition qui lie le pas de temps et le pas d'espace. Je te conseille le livre de Nougier (méthodes de calcul numérique, tome II je crois) qui est vraiment très complet sur les méthodes numériques.

Si tu as d'autres questions, ou bien si je n'ai pas répondu correctement, n'hésite pas !

[invite359f3846]

Ce que je voulais dire, et pardon si ce n'était pas très clair, c'est que dans ton équation de la chaleur, les coefficients varient spatialement. Je rappelle l'équation de la chaleur unidimensionnelle :



où donc varient en fonction de x. C'est ce que j'entends pas gradients spatiaux. Plus simplement, beaucoup d'auteurs considèrent que ces coefficients sont constants sur la plage de température qu'ils considèrent. Ce qui change dans ta méthode, c'est justement que le coefficient varie donc avec x, ce qui est beaucoup plus délicat à traiter d'un point de vue des différences finies.

Ok d'accord! J'ai tenu compte dans mon calcul que ces coefficients variaient spatiellement...

là est le hic ! Si tu utilises une méthode différente, tu ne retomberas pas (à moins d'un coup de bol) sur la formule exacte obtenue par l'autre auteur. En revanche, le résultat numérique obtenu sur T(x,t) peut être sensiblement proche. Tout est une question de précision et de temps de calcul, au final.

Je cherche une piste pour savoir comment l'auteur en est arrivé à une formule aussi simple...
J'ai retourné le problème à l'envers. Je suis parti de la formule de l'auteur et j'ai essayé de calculer ce que devait valoir la dérivée partielle seconde d'alpha(x).T(x,t) par rapport à x pour obtenir la même réponse que lui...
Tous mes calculs sont disponibles dans ce document: http://www.rodsoft.be/eqchaleur_recherche.pdf
Je trouve une réponse qui semble logique (symétrique etc.) mais je ne vois d'où il l'a tirée

Pour étudier la stabilité de ton schéma, il faut faire une analyse de Von Neumann utilisant l'espace de Fourier. En Gros tu considères une solution décomposable en série de Fourier, ce qui te donnera une condition qui lie le pas de temps et le pas d'espace. Je te conseille le livre de Nougier (méthodes de calcul numérique, tome II je crois) qui est vraiment très complet sur les méthodes numériques.

Merci beaucoup pour la référence (il est pas donné le bouquin 75€). Je me suis renseigné sur Von Neumann et ça n'a pas l'air trop compliqué .
Encore merci!