ça doit être une question débile mais je vais la poser quand même:
définition: une extension L d'un corps K est corps de décomposition d'un polynôme P lorsque :
1/ Dans L[X], P est scindé
2/ L = K(a1,a2,...) où a1,a2,...sont les racines de P
Est-ce que le 2/ n'entrainerait pas le 1/??
Merci pour vos réponses toujours pertinentes.
en un sens oui, mais tous depend de comment on interprète "les racines de P" dans 2)
si on parle "des racines de P dans une cloture algébrique" alors, il est inutile de préciser 1... mais invoquer la cloture algébrique pose des petits problème (pas insurmontable, mais qui complique pas mal les choses) : la cloture algébrique est unique "à isomorphsimes pres" (ce qui n'est pas la meilleur notion d'unicité qu'on puisse avoir) du coup, quand on fixe une cloture algébrique, ca permet de considérer les racines a1...an, mais en contrepartie le plongement de L (si il existe ^^) dans cette cloture n'est pas unique, et et il n'est pas immediat (enfin... c'est pas insurmontable non plus) que le fait de dire L=K(a1,...an) ne dépendent pas du choix du plongement de L dans la cloture algébrique de K...
bref, ca amène pleins de problèmes (plongez L dans K^al et voir que la définition ne dépend du plongement choisit)
la solution (c'est le partie pris par l'auteur) est de considérer uniquement les racines de P qui sont dans L (plus bessoin de la cloture algébrique, et les racines dont on parle sont clairement défini). mais du coup, pour que les choses ce passe comment on l'entend, il faut supposer que toutes les racines sont bien dans L, ie que P est scindé sur L...
(par exemple X^2+1 vérifie 2) dans Q, puisqu'il n'a pas de racine)
Note que cette non-unicité de la cloture algébrique est enfait un problème assez profond. c'est essentiellement ca qui fait qu'on ne sais pas donner une description du groupe de Galois de la cloture algébrique de Q (qui est probablement le groupe de galois le plus important qu'on pourrai vouloir connaitre...)
Ok, Ksilver tu as été d'une grande aide une fois de plus!
Questions:
1/ C'est quoi au juste une cloture algébrique? Pourquoi introduire une telle extension?
2/est il possible de démontrer le théorème de Steinitz sans passer par Zorn?
ou bien est-ce inévitable (auquel cas il faudrait réussir à le prouver). Moi je suis un type assez terre à terre: déjà que la notion de clotûre algébrique me semble surtout commode pour "lisser" la théorie, mais Zorn en plus, là ça devient le lapin qui sort du chapeau au bon moment...
Mais je ne suis pas assez savant je pense, en tout cas pas autant que toi!
Une cloture c'est une extension algébrique et algébriquement close.
on peut la constuire avec le lemme de Zorn comme une extension algébrique maximal (en gros)
et on sais qu'elle est "unique à unique isomorphisme pres"
"est il possible de démontrer le théorème de Steinitz sans passer par Zorn? " (ce que tu apelle th de Steinitz, c'est bien l'existence d'une cloture algébrique ? ) essentiellement non. le th de Steinitz n'est pas prouvable si on accepte pas l'axiome du choix (qui est équivalent au lemme de Zorn)... apres je ne sais pas si Steinitz est équivalent à l'axiome du choix ou si il exitse d'autres axiomes plus faible que l'axiome du choix qui permettrai de le prouver (ca serait en un sens une preuve de Steinitz sans Zorn, mais bon... ca neccesiterai autre choses à la place) la il faudrait l'avie d'un logicien ^^
d'ailleur ce problème de non unicité de la cloture algébrique vient du fait qu'elle ce construit avec l'axiome du choix (l'axiome du choix construit justement des objet qui ne sont pas totalement explicitable... c'est souvent le cas d'une cloture algébrique)
pour le à quoi ca sert, je dirais que c'est essentiellement un résultat qui rassure l'intuition : ca permet de penser aux racines d'un polynome "dans l'absolue" ce qui est assez intuitif : c'est ce que tu faisais quand tu pensais que 2)=>1) dans un post précedent : tu visualise les racines de P comme des élement qui existe dans l'absolue, et dire que P est scindé sur L c'est dire que c'est fameuse racine sont dans L : c'est l'éxistence d'une cloture algébrique qui te permet de faire cela !
apres est-ce que l'existence d'une cloture algébrique sert vraiment à quelque chose concretement... je dirais oui si on va chercher suffisement loin (loin dans le sens compliqué et avancé je pense notement à des choses comme le programes de Langlands, pas loin dans le sens "truc tordu qu'on rencontre jammais dans la pratique" ) en revanche, à un niveaux plus élémentaire, je ne vois pas de cas ou l'existence de la cloture algébrique soit réellement utile, mis à part pour donner une formulation plus simple/plus claire à qqch...
Tes explications sont une nouvelle fois très détaillées. Je te remercie de prendre le temps de me répondre, ça me fait avancer plus vite! D'autant que vu la teneur des réponses, on voit que tu as potassé le sujet. Tu m'inspires donc ceci:
