Corps de décomposition

invitefb392423 · 15/05/2008, 16h36

Bonjour,
Voilà je me pose quelques question sur un exercice qui peut sembler évident...
Voici l'exercice et mes questions:

Soit a=racine(2+racine(2))
1. Déterminer le polynôme minimal de a dans Q.
je trouve P(X)=X^4-4X^2+2 (je vérifie le l'irréductibilité avec le critère d'Eisenstein)
2. Trouver un corps de décomposition K de P(X) sur Q. (compris entre Q et R) et trouver le degré de K:Q.
ici je cherche les racines du polynôme et je trouve: a,-a,racine(2-racine(2)) et -racine(2-racine(2)).
J'ai Q(a) comme corps de rupture. Mais ensuite...
Pour commencer j'aimerais une Q-base de Q(a), je propose {1,a,racine(2),a^3)} est ce bon???
Il faudrait que je vérifie si les autres racines sont dans Q(a), à l'œil je dirais non et je pourrais conclure que le corps de décomposition en question est :
Q(a,racine(2-racine(2))) et le degré je devrais trouver 6...
Quelqu'un pourrait m'aider?

invite57a1e779 · 15/05/2008, 21h10

Envoyé par pointfixe

Soit a=racine(2+racine(2))
1. Déterminer le polynôme minimal de a dans Q.
je trouve P(X)=X^4-4X^2+2 (je vérifie le l'irréductibilité avec le critère d'Eisenstein)
2. Trouver un corps de décomposition K de P(X) sur Q. (compris entre Q et R) et trouver le degré de K:Q.
ici je cherche les racines du polynôme et je trouve: a,-a,racine(2-racine(2)) et -racine(2-racine(2)).
J'ai Q(a) comme corps de rupture. Mais ensuite...

Tu as $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$
Comme $\text{[math]}$ est une base de $\text{[math]}$ , il est exact que $\text{[math]}$ en est une autre.

Mézalor $\text{[math]}$ est un élément de $\text{[math]}$ tel que
$\text{[math]}$ ,
d'où la factorisation
$\text{[math]}$

invitefb392423 · 15/05/2008, 22h18

Ok merci. Donc Q(a) est bien un corps de décomposition.... Et même une extension normale. Cool.

invitefb392423 · 15/05/2008, 22h42

Et même séparable...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 15/05/2008, 22h52

Envoyé par pointfixe

Ok merci. Donc Q(a) est bien un corps de décomposition.... Et même une extension normale. Cool.

J'ai quand même camouflé mes calculs dans le parachutage de la valeur de $\text{[math]}$ .

En fait, classique mise sous forme canonique, je pars de : $\text{[math]}$ .
Sur $\text{[math]}$ , on factorise le polynôme en
$\text{[math]}$ .
Et là, il faut remarquer que $\text{[math]}$ est carré dans $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , et la factorisation complète de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ après avoir exprimé $\text{[math]}$ comme un polynôme en $\text{[math]}$ .

invitefb392423 · 16/05/2008, 15h07

Merci beaucoup pour ces détails.

invitefb392423 · 21/05/2008, 16h18

Voilà un exercice sur les corps de décompositions.
Je mets l'énoncé je fais l'exercice et je donne ma solution.

Déterminer le corps de décomposition $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ des polynômes suivants.

a) $\text{[math]}$
b) $\text{[math]}$

Dans chaque cas, calculer le degré de l'extension $\text{[math]}$ . Pour chacun des polynômes de a), trouver un élément $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ ainsi que le polynôme minimal de $\text{[math]}$

Voilà je me mets au travail je vais bien en avoir pour quelques minutes!

invitefb392423 · 21/05/2008, 16h32

Je donne la première pour voir si je ne fais pas fausse route
$\text{[math]}$
Je pose $\text{[math]}$ les racines du polynômes sont $\text{[math]}$

Le corps de décomposition est donc $\text{[math]}$
Le polynôme est minimal donc l'extension de degré 4.
on peut aussi remarquer au passage que $\text{[math]}$

invitefb392423 · 21/05/2008, 17h13

Pour $\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ les racines sont $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
Maintenant je dois chercher le polynôme minimal et montrer que cette extension est monogène... je cherche...

invite57a1e779 · 21/05/2008, 17h29

Pour $\text{[math]}$ , tes résultats sont exacts.

Envoyé par pointfixe

Pour $\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ les racines sont $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
Maintenant je dois chercher le polynôme minimal et montrer que cette extension est monogène... je cherche...

J'ai mis un moment à réaliser que $\text{[math]}$ n'a pas sa signification traditionnelle de $\text{[math]}$ .
Mais enfin... on a $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont déjà listéees, et il te manque donc deux racines...

invitefb392423 · 21/05/2008, 21h07

Je recommence avec les notations conventionnelles:

$\text{[math]}$

Les solutions sont: $\text{[math]}$

voilà mes six racines. je vais chercher un "générateur"

invitec053041c · 21/05/2008, 21h17

je vais chercher un "générateur"

Oké mais ne t'électrocute pas

.

invitefb392423 · 21/05/2008, 21h28

Comme corps de décomposition j'ai évidemment: $\text{[math]}$

Je vais essayer de montrer que $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ car $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

de polynôme minimal $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
c'est juste??

Envoyé par Ledescat

Oké mais ne t'électrocute pas

.

invite57a1e779 · 21/05/2008, 22h14

Envoyé par pointfixe

Comme corps de décomposition j'ai évidemment: $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ car $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

de polynôme minimal $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
c'est juste??

OUI, c'est ça.

invitefb392423 · 21/05/2008, 22h44

Pour $\text{[math]}$ le corps de décomposition est $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$
on a $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

invitefb392423 · 21/05/2008, 22h59

pour $\text{[math]}$ on à $\text{[math]}$
Et $\text{[math]}$

invitefb392423 · 21/05/2008, 23h14

Pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Pour $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

encore un... (après je me couche...)

invitefb392423 · 21/05/2008, 23h33

Pour $\text{[math]}$ c'est moins évident ...
Est-on obligé de résoudre l'équation du troisième degré? Il doit surement y avoir une petite astuce là...

invite57a1e779 · 21/05/2008, 23h49

Envoyé par pointfixe

Pour $\text{[math]}$ c'est moins évident ...
Est-on obligé de résoudre l'équation du troisième degré? Il doit surement y avoir une petite astuce là...

Je ne pense hélas pas qu'il y ait d'astuce...

invite4ef352d8 · 22/05/2008, 19h02

pour le cas d'un polynome de degré 3 comme P=x^3+x^2+2, il y a quand meme un technique mais c'est nettement plus compliqué :

appelons a1,a2,a3 ces racines : posons d=(a1-a2)(a2-a3)(a3-a1)
d^2 est une fonction symétrique des racines, on peut donc l'exprimer en fonction des coefficient et le calculer... selon ce que tu sais du discriminant ca te prendra plus ou moins de temps... on trouve d=-116 = -2^2*29

donc i.sqrt(29) est dans le corps de décomposition.

soit maintenant a une racine quelconque de P, Q(a) est une extension de Q de degrée 3. (le polynôme est irréductible car il n'as pas de racines rationelle...sais tu prouver cela ?)

donc isqrt(29) ne peut pas etre dans Q(a), sinon Q(a) serait un Q(isqrt(29)) espace vectorielle et donc serait de degré pair sur Q.

donc Q(isqrt(29),a) est une extension de degré 6 qui est inclu dans le corps de décomposition, c'est donc le corps de décomposition de P (il faut savoir qu'un corps de décomposition est de degré au plus n!... donc ici 6 ce qui permet de conclure)

invitefb392423 · 28/05/2008, 13h22

Envoyé par Ksilver

donc Q(isqrt(29),a) est une extension de degré 6

Pourquoi 6?

invitefb392423 · 28/05/2008, 13h25

Justement là je cherche à montrer que le corps de décomposition de $\text{[math]}$
La mon discriminant vaut: -31...

invitefb392423 · 28/05/2008, 13h51

En fait j'ai du mal à montrer qu'il n'a pas de racine rationnelle.

invite57a1e779 · 28/05/2008, 17h25

Envoyé par pointfixe

En fait j'ai du mal à montrer qu'il n'a pas de racine rationnelle.

C'est toujours pareil : si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ entiers premiers entre eux, est une racine rationnelle de $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ . On en déduit que $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ , et que $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ ...

invitefb392423 · 28/05/2008, 17h56

Envoyé par God's Breath

C'est toujours pareil : si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ entiers premiers entre eux, est une racine rationnelle de $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ . On en déduit que $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ , et que $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ ...

Merci! évidemment cela parait tellement évident une fois qu'on a la réponse....

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