Extension de corps (Construction de F4)

[invitea77054e9]

Salut,

Mon prof d'algèbre m'a demandé de construire une sur-corps minimal (au sens de l'inclusion), contenant F, ie Z/2Z. Notons cette extension de corps C.

Je pense que c'est le corps à 4 élèments F={0,1,b,b^-1}, mais je n'arrive pas à conclure.
En effet, Si C est un sur-corps de F, il admet un élèment supplémentaire b et sont inverse b^-1, b différent de 0 et de 1 évidemment. Contient-il d'autres élèments?
Il faut trouver une relation entre b et b^-1 .
J'ai intuitivement poser b²=b^-1 , ie b³=1 , ie b³-1=0, ie b³+1=0, car -1=+1 dans F.

En fait, on a vu comment construire à partir de [X], à savoir via les classes de de [X] modulo X²+1 (c'est pas très clair tout ça, c'est un cours de deuxième année de licence, et il nous présente ça rapidement).
J'essaye donc de calquer cette construction sur les classes de F modulo un polynome de F[X] .
J'ai pensé à X+1, mais ça ne marche pas.
Il semblerait, d'après mon prof, qu'il faille considérer un polynome de degré moindre. Et c'est là que je bloque.


J'en viens à demander votre aide, pour me mettre sur la bonne voie. D'ailleurs s'il y a d'autres moyens de construire F, je suis tout ouïe.

Merci d'avance.
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[invitea77054e9]

Oops j'ai mal placé mes balises Latex, pour ceux qui arriveront à me lire...

Je me répète, je considère , je veux construire un sur-corps minimal au sens de l'inclusion, que je suppose étant ={0,1,b,b^-1}

Je pose b²=b^-1, ie b^3=1 .

J'essaye de trouver un polynome P(X) de [X] tel que /P(x) s'identifie à mon sur-corps.

C'est sur ce polynome que je bloque, je considère que c'est X^3+1 mais ça ne marche. Peut-etre est-ce un polynome de degré 2.
Votre aide je demande .

[invite4793db90]

Salut,

pour obtenir un corps par cette méthode, il faut que P soit irréductible.

Or tu vérifieras que X³+1=(X+1)(X²+X+1) sur F₂[X].

Je te laisse chercher un polynôme de plus petit degré irréductible sur F₂[X].

Cordialement.

[invite3bc71fae]

Ca me rapelle vaguement un truc avec des j et des j², mais j'étais jeune et insouciant à l'époque...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea77054e9]

Merci pour ces réponses. X²+X+1 à l'air de marcher. Je vais voir d'un peu plus près. Merci encore

[inviteca3a9be7]

Salut,


F_4 c'est ou bien Z/2Z[X]/(X²+X+1) ou bien 0,1,a,a+1 avec a²=a+1

[GrisBleu]

desole de ne pas t aider, mais je trouve que, pour poser des questions d extensions de corps, tu as choisi le bon pseudo

[inviteab2b41c6]

Une petite idée pour trouver un polynôme sans racine dans Fp:

P=x(x+1)(x+2)...(x+p)+1 n'a pas de racines dans Fp[X] parce que si tu évalues P en n'importe quel nombre de Fp, ca va te donner 1.
Dans F2 tu as donc X(X+1)+1=x^2+x+1 qui fonctionne, c'est à dire ce que tu as trouvé.
De toute manière, dans F2, tu as 4 choix possible de polynômes de degré 2:
X^2
X^2+1
X^2+X
X^2+X+1
Il n'y en a qu'un qui est irreductible dans F2[X]....

[invitea77054e9]

Merci pour toutes ces réponses, je comprend un peu mieux à présent. En fait, je pense que je vais laisser de coté ces notions un moment, le prof m'en a parlé juste parce que je l'ai harcelé . Le hors-programme c'est bien, mais faut pas en abuser , surtout quand on comprend rien .

Wlad_von_tokyo ça fait un sacré bout de temps que j'ai ce pseudo, et je commence tout juste à me rendre de l'oeuvre de 'sieur Galois. A part la résolubilité des équations du cinquième degré par rédicaux, il a fait quoi?

[invitec314d025]

A part la résolubilité des équations du cinquième degré par rédicaux, il a fait quoi?

C'est déjà pas mal, il fallait créer les outils pour le faire.
Je ne sais pas s'il a eu le temps de faire beaucoup d'autres choses, il est mort jeune (et un peu stupidement, il faut dire).

[GrisBleu]

salut evariste.

Comme il est mort vers 22 ou 23 ans, il n a pas trop pu faire de choses. Ce que j ai etudie de lui, ce sont les extansions de corps.
avec les applications les plus connues :
- impossibilite d ecrire les racines d un polynome quelconque du 5 eme degre avec des radicaux
- impossibilite de la trissection de l angle
- impossibilite de la quadrature du cercle
entre autre

a+