Un seul infini

[invite2a222fea]

Bonjour tout le monde,

Voila je me posais une question qui va sans doute vous paraître complétement loufoque mais bon je vous la pose quand même.

Je voudrais savoir si on pourrait, dans certaines conditions, considérer que +∞ et -∞ sont en fait un ∞ unique.

Je m'explique. Ca m'est venu est étudiant une courbe. Lorsque la tangeante à une fonction est verticale en un point, c'est qu'en ce point le nombre dérivé de la fonction est infini. Mais que le nombre dérivé tende vers +∞ ou -∞, la tangeante sera toujours verticale. (j'espère que vous arrivez à me suivre parce que j'ai un peu du mal à mettre mes idées en forme )

Bon, une fois qu'on a cette tangeante verticale, la fonction peut évoluer soit de manière à ce que la tangeante devienne décroissante, soit de manière à ce que la tangeante devienne croissante. Si on s'intéresse au nombre dérivé, ça veut dire qu'il passe de ∞ à un réel, positif ou négatif.

Maintenant, comme lorsque le nombre dérivé tend vers ∞ (+ ou -) la tangeante est verticale, est-ce qu'on pourrait considérer que +∞ et -∞ sont en fait un seul ∞ unique ?

Si c'est possible, partant de là, est-ce qu'on pourrait considérer que l'ensemble des réels est un ensemble circulaire qui augmenterait jusqu'à ∞ et de ∞ passerait dans les négatifs pour revenir à 0?

Comme je ne suis qu'en Tale et que mes connaissances en maths sont encore assez limitées je n'ai rien trouvé pour contredire cette idée mais je ne peux pas exploiter cette idée très avant. Donc si vous voyez un contre argument ce serait sympa de me faire signe.
Dans le cas contraire, est-ce que vous avez une idée de ce que ça pourrait donner si on appliquait cette idée?

Voilà c'est tout ce que j'avais à dire, j'espère que vous avez compris où je voulais en venir mais bon c'est vrai j'aurai pu appeler cette discussion "drogue et maths" ou un truc dans ce genre.

Amusez vous bien ^^.
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[inviteab2b41c6]

Lorsque l'on fait de l'analyse complexe c'est grosso modo ce que l'on fait, on rajoute un point que l'on appelle infini, et il est tout seul, et correspond à notre intuition de plusieurs infinis...

[invitec314d025]

Dans un plan, on considère un cercle et une droite n'intersectant pas ce cercle. On prend le point O du cercle le plus éloigné de la droite et on construit une projection conique sur la droite. On a une bijection entre la droite et le cercle privé de O. Avec des considérations non rigoureuses, les deux "bouts" de la droite seraient l'image du même point O.
Bon on peut faire plus rigoureux que ça, mais c'est la vision de l'ensemble IR comme circulaire qui m'y faisait penser.

[invite4793db90]

Cette application porte un nom: la projection stéréographique.

A noter aussi que la géométrie projective considère l''infini' comme un hyperplan.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea77054e9]

Hehe je ne suis pas le seul type sur Terre à avoir pensé à cette chose .
J'avais ,effectivement, partant du principe qu'une droite peut être assimilée à un cercle de rayon infini, imaginé la droite réelle comme un cercle partant de 0 et en lui opposant l'infini (ou plutot le nombre n vérifiant 0*n=1, ). C'était la belle époque du lycée, malheureusement depuis j'ai sombré dans la "rigueur" mathématique .
Alors Mercury, ne fait pas comme moi, continue sur ta lancée, pour nous pondre sait-on jms une théorie sans précèdents.

Plus "sérieusement", j'ai pendant longtemps chercher à introduire un nombre non vérifiant 0*n=1. J'avais trouvé une étrange similitude avec 0, d'ailleurs il vérifiait pratiquement toutes ses propriétés (n^p=n pour p>0, a*n=n*a=n pour a réel,...), j'avais par contre eu beaucoup de problème au niveau de l'addition.

Bref, rien de bien convaincu, en tout cas je suis content de réentendre parler aujourd'hui .

[inviteaeeb6d8b]

Plus "sérieusement", j'ai pendant longtemps chercher à introduire un nombre non vérifiant 0*n=1.

Euh ...

[invitea77054e9]

He oui, on ne sait pas toujours ce qu'on fait . Chacun à droit de faire des erreurs, meme les plus ridicules

[invitea77054e9]

En fait, je ne pense pas que ce soit si stupide que ça d'étudier 0*n=1.
Des mathématiciens italiens ont bien "osé" utiliser des racines de nombres négatifs... De meme que les nombres négatifs paraissaient totalement absurde jusqu'à un certain temps.
Reste à trouver un intérêt à ce nombre n .

[invitef591ed4b]

Oui, mais l'utilisation de cette racine négative à l'époque apportait tellement de facilités que l'auteur de leur utilisation (monsieur Tartaglia, si je me souviens bien) ne pouvait pas ne pas les considérer.

Il devait trouver une méthode permettant de calculer les racines de n'importe quel polynôme du 3e degré, et la quantité lui permettait d'arriver toujours à 3 racines dans tous les cas. D'une certaine manière, le besoin de considérer cette racine d'un négatif se faisait naturellement ressentir ...

Est-ce le cas pour 0*n = 1 ? À priori, non ...

[invitea77054e9]

Pour faire en ce moment un module d'épistémologie et d'histoire des mathématiques sur les nombres complexes, je peux t'assurer qu'à l'époque, les mathématiciens, notamment italiens, se gardaient bien de donner toutes considérations conceptuelles à ces fameux nombres "impossibles".
Parfois, il faut se soustraire à son intuition, d'autre fois non.

Je ne considère en aucun cas l'équation 0*n=1 comme valeur de vérité, ceci étant je m'abstiens d'affirmer que c'est absurde dans la mesure où on ne sait pas vraiment de quel mesure considérer ce nombre n.
Ceci étant, je pense que tout ceci mérite reflexion, et que de s'y attarder peut être bénéfique.

Imagine un instant que les Gauss et autres Argand n'aient pas donner d'intéprétation géométrique aux complexes, je ne pense pas qu'ils auraient eu un franc succès, et ils auraient sans doute été considérés comme un moyen de s'affranchir de certaines difficultés, mais ils n'auraient pas été admis à leur juste titre.

[invitef591ed4b]

Je donne l'impression de reprocher à ces génies d'avoir tenté des approches différentes ?

[invitee3195d19]

Pour revenir à ce que dit Mercury, il ne faut pas oublier que lorsqu'une fonction a un nombre dérivé infini, son signe indique le sens de croissance de la fonction : +infini indique que la fonction est croissante, alors que -infini indique que la fonction est décroissante : ils n'ont donc pas la même signification...

Dites moi si je me trompe, ou si je suis hors-sujet...

[invitea77054e9]

En aucun cas Sephi .
Simplement, je considère qu'il ne faut pas écarter un problème sous prétexte qu'il parait absurde.
Justement, si on se place à l'époque où les complexes ont emergé, leur ascension fut longue et douloureuse, parce qu'ils remettaient en cause la mathématique contemporaine. Pour certains totalement hors de propos, pour d'autres élègants, les complexes ont du attendre qu'on leur donne une interprétation géométrique pour qu'on les accepte définitivement.

Donc, suivant ce principe, je me dis que peut-être l'équation 0*n=1 relève sait-on jamais d'une notion intéressante, et qu'il ne faut pas la banir sous prétexte qu'elle va à l'encontre des mathématiques actuelles.
Evidemment, je ne me fais guère d'illusion. Ceci étant, je considère qu'une recherche, aussi infructueuse soit-elle, est toujours bénéfique pour qui l'a mené.