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Degré d'une extension de corps



  1. #1
    pointfixe

    Question Degré d'une extension de corps


    ------

    Bonjour, je voulais juste savoir si ce que je pense est juste...
    On me demande de trouver le degré de Q[X]/(X^3+2) sur Q
    Q étant l'ensemble des rationnels.
    Je trouve comme base: 1;2^(1/3);3^(1/2)*i.
    Le degré (3) semble bon, mais je me demande si les éléments de la base sont les bons ou si j'ai eu de la chance...
    Merci

    -----
    "L'étude des mathématiques est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence."

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  4. #2
    pointfixe

    Re : Degré d'une extention de corps

    J'ai le même problème avec F2[X]/(X^2+X+1) sur F2,
    est ce que une base serait 1/2 et i*3^(1/2)?
    Sinon ca veut dire que je m'y prend mal...
    Merci...
    "L'étude des mathématiques est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence."

  5. #3
    pointfixe

    Unhappy Re : Degré d'une extention de corps

    Sinon quelqu'un pourrait me dire si ma question est mal posée... Je me demande pourquoi on ne me répond pas...
    Si quelqu'un peut m'aider...
    "L'étude des mathématiques est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence."

  6. #4
    martini_bird

    Re : Degré d'une extention de corps

    Salut,

    tu joues avec les isomorphismes, mais la réponse à ta question (le degré de l'extension) vient naturellement en travaillant sur les quotients. En effet, une base de Q[X]/(X^3+2) sur Q est tout simplement (1, X, X2) (enfin les images de ces éléments par projection canonique).

    Tu peux identifier Q[X]/(X^3+2) à Q(a, b, c) où a, b, c sont des réels, mais je ne suis pas convaincu que ce soit nécessaire ici.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  8. #5
    pointfixe

    Question Re : Degré d'une extention de corps

    Merci beaucoup de me répondre,
    Comment je peux savoir que cette base c'est (1,X,X^2)?
    Ma base est-elle bonne? Je dois bien rajouter à Q[X] les racines du polynôme, non?
    (je révise les bases de la théorie de Galois...)
    "L'étude des mathématiques est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence."

  9. #6
    BS

    Re : Degré d'une extention de corps

    Déjà il faut bien comprendre ce que signifie Q[X]/(X^3+2), c'est l'ensemble des classes modulo X^3+2. Une classe, c'est ici un ensemble de polynôme qui ne diffèrent que par un multiple de X^3+2. Donc une classe ici, c'est un ensemble de la forme P+(X^3+2)Q[X], où (X^3+2)Q[X] représente l'ensemble des multiples de X^3+2. Quand Martini te dit que (1,X,X^2) est une base, cela signifie plus exactement que les classes de 1, X et X^2 forment une base de ton espace (après on oublie de dire classe car c'est plus pratique). On va noter [P] la classe du polynôme P.

    Pour voir que la famille ([1],[X],[X^2]) est une base, il faut montrer qu'elle est la fois libre et génératrice. Pour voir qu'elle est libre, choisissons a,b et c des scalaires (donc ici des éléments de Q) tels que
    a[1]+b[X]+c[X^2]=[0], c'est-à-dire [a+bX+cX^2]=[0]. Mais dire que la classe de a+bX+cX^2 est la classe de 0, c'est exactement dire que a+bX+cX^2 est un multiple du polynôme X^3+2. Ceci n'est possible (pour des raisons de degré) que si a+bX+cX^2 est nul, c'est-à-dire a=b=c=0. Donc la famille ([1],[X],[X^2]) est libre.

    Essaye maintenant de montrer qu'elle est génératrice.

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  11. #7
    invite986312212
    Invité

    Re : Degré d'une extention de corps

    Citation Envoyé par pointfixe Voir le message
    Je dois bien rajouter à Q[X] les racines du polynôme, non?
    (je révise les bases de la théorie de Galois...)
    j'ai l'impression que tu mélanges un peu deux approches de la construction d'une extension algébrique: l'approche "naïve" qui consiste à "ajouter" à Q (et pas Q[X]) une ou des racines (le modèle étant la construction de C par adjonction de i à R) et l'approche comme quotient de Q[X] par l'idéal engendré par un polynôme.

  12. #8
    homotopie

    Re : Degré d'une extention de corps

    Bonsoir,
    il y a aussi d'autres confusions que la principale déjà relevée.
    Citation Envoyé par pointfixe Voir le message
    Bonjour, je voulais juste savoir si ce que je pense est juste...
    On me demande de trouver le degré de Q[X]/(X^3+2) sur Q
    Q étant l'ensemble des rationnels.
    Je trouve comme base: 1;2^(1/3);3^(1/2)*i.
    Le degré (3) semble bon, mais je me demande si les éléments de la base sont les bons ou si j'ai eu de la chance...
    Merci
    vérifie a²+3=0 et n'est pas une racine complexe de X^3+2 et ne fait pas partie d'un plongement de Q[X]/(X^3+2) dans C.
    Donc non tu n'as pas eu de chance
    Citation Envoyé par pointfixe Voir le message
    J'ai le même problème avec F2[X]/(X^2+X+1) sur F2,
    est ce que une base serait 1/2 et i*3^(1/2)?
    Sinon ca veut dire que je m'y prend mal...
    Merci...
    C'est quoi 1/2 dans F2 ??? tu es en train de diviser par 0 !
    Sinon dans F2 3^(1/2)=1^(1/2)=1 et comme 1²=1=-1 on a "i"=1 dans F2.
    Oui tu t'y prends mal.

    Cordialement

  13. #9
    pointfixe

    Re : Degré d'une extention de corps

    Merci beaucoup, effectivement je confondais...
    Ou plutôt je mélangais, maintenant c'est plus clair et en plus j'ai deux méthodes pour trouver le degré d'une extention de corps...
    "L'étude des mathématiques est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence."

  14. #10
    pointfixe

    Re : Degré d'une extension de corps

    oui mais pour F2[X]/(X^2+X+1) c'est bien isomorphe à F2(....) avec quelque chose à mettre à la place des petits points.... Et je cherche la base de ce corps...
    "L'étude des mathématiques est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence."

  15. #11
    homotopie

    Re : Degré d'une extension de corps

    Citation Envoyé par pointfixe Voir le message
    oui mais pour F2[X]/(X^2+X+1) c'est bien isomorphe à F2(....) avec quelque chose à mettre à la place des petits points.... Et je cherche la base de ce corps...
    Et bien applique ce qui t'as été expliqué précédemment par d'autres à ce cas.

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