qu'est-ce qu'une integrale curviligne?pouvez-vous m'aider?

[invite47e0ec41]

bonsoir!



j'ai rencontré ce genre d'integrale à propos des equations de Maxwell et etant d'origine litteraire je n'ai pas compris cette notion.
est-ce aussi simple qu'une integrale simple ramenée à un arc de cercle ou un cercle,dans ce dernier cas est-ce ramenable à une integrale double(j'ai rien compris à la formule de Green-Riemann?)pour un champ est-ce ramenable à une integrale triple(x,y,z)?
pouvez-vous me donner un lien plus pedagogique que wikipedia et au contenu facile à comprendre par un demi-matheux autodidacte qui s'est lancé dans la physique et les maths par passion de l'astronomie?


d'avance merci pour votre aide!
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[KerLannais]

Bonsoir,

Il s'agit juste d'intégrer une fonction le long d'une courbe. Tu considère une courbe (assez régulière) dans un plan ou un espace de dimension plus grande, et une fonction définie sur cette courbe (assez régulière et éventuellement définie ailleurs), et tu intègre cette fonction le long de la courbe. Intuitivement, dans le cas d'une courbe C dans un plan P par exemple, imagine une représentation 3D, tu as d'abord le plan sur lequel est tracé la courbe, prenons pour simplifier une fonction f qui est positive, tu peux tracer au dessus du plan les valeurs de la fonction sur la courbe C, ça te donne une courbe en 3D au dessus de la courbe dans le plan (je sais pas si tu vois ce que je veux dire). Cette courbe se projette orthogonalement sur la courbe tracée dans le plan. Si pour chaque point de la courbe 3D tu trace la verticale qui relie ce point au point de la courbe 2D juste en dessous, tu obtiens une surface verticale, une sorte de mur courbe posé sur le plan et délimité supérieurement par la courbe 3D. La surface de ce mur est l'intégrale curviligne de f le long de la courbe (je précise qu'on peut considérer que le mur a deux faces, un recto et un verso en quelque sorte, qui ont tous les deux la même surface, quand je parle de surface, il s'agit de cette surface commune, celle du recto ou du verso, et pas la somme des deux).
Il s'agit donc d'une généralisation, de l'intégrale d'une fonction de R dans R, qui correspond l'aire sous la courbe (calculée avec la fameuse méthode des rectangles). Dans le cas de l'intégrale curviligne c'est pareil, tout le baratin que j'ai fait ça revient à dire que c'est l'aire "sous la courbe". Bien sûr quand la fonction devient négative, il faut compter l'aire négativement ...
Enfin bon c'était juste pour te donner l'intuition de ce que c'est l'intégrale curviligne.
Après je ne sais pas exactement quel est ton bagage en maths ...
En tout cas voici une définition rigoureuse avec des hypothèses raisonnable. On considère une fonction à deux variables (à deux nombres réels et elle associe le nombre réel ). On suppose qu'elle définie sur un certain ensemble de valeurs de et et continue. On définit une courbe à l'aide d'un paramètre qui varie dans . La courbe est l'ensemble des points de coordonnées , où et sont des fonctions dérivables à dérivée continue. L'intégrale curviligne de est définie par


tu remarqueras que le terme de droite est simplement l'intégrale d'une fonction continue sur et donc tu connais (sauf si tu ne sais pas ce qu'est une intégrale).

Le terme affreux en racine carré à la fin de l'intégrale peut être expliqué intuitivement aussi. Si tu prends le morceaux de courbe de à , où est un nombre "tout petit" alors la longueur de ce morceau de courbe est approximativement . Cette approximation devient de plus en plus correct quand devient très petit. Ceci s'explique de la façon suivante, on dit que le morceau de courbe est approximativement un segment de droite qui relie à et par ailleur:


ce que l'on note aussi


(la aussi plus est petit, plus ça devient égal)
La formule de la longueur d'un segment est:

(je sais pas si tu connais, ça se montre avec le théorème de Pythagore)
En utilisant cette formule on obtient l'approximation de la longueur du morceau de courbe:

Ainsi, si on découpe le mur courbe en rectangles verticaux de très petite largeur, leur aire est donnée par

Il suffit alors de sommer l'aire de ses petits rectangle pour obtenir la surface du mur. D'où la définition.

Je ne connais pas de bonnes références sur internet (désolé), du moins selon tes critères de pédagogie (sinon ce que dit wiki c'est très bien), si tu peux avoir accès à une bibliothèque universitaire, consulte des livres d'analyse premier cycle, les livres de maths sont en général très bien fait. Il est possible qu'il y ai quelqu'un sur ce forum qui ait de bonnes références sur le net. Ou sinon tu peux toujours poser d'autres questions sur ce forum.

[invite47e0ec41]

bonsoir!



existe t-il une fonction sur la ti 89 qui permette de calculer toutes ou certaines integrales curvilignes ou faut-il decomposer en integrales simples comme dans le cas d'un rectangle avec les 4 cotés?
pardonnez-moi pour mon coté amateur!





bien amicalement!

[KerLannais]

Bonjour,

J'avoue que je ne connais pas la ti89, j'ai toujours travaillé avec des casio. Cela dit, je pense que se ramener à des intégrales simples est un bon exercice, et puis si tu as des problème sur un exemple particulier tu peux toujours poser la question sur le forum en donnant l'exemple. Avec un peu de chance un expert en ti89 passera par là et te répondra à ta question

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