À quoi celà sert-il de calculer une cohomologie ?

[martini_bird]

Salut,

tout est dans le titre... Cette question peut paraître stupide, mais bien que j'aie rencontré des groupes de (co-)homologies en de multiples endroits, je ne vois pas trop pour quelles transformations c'est un invariant (car il me semble bien qu'une cohomologie est un invariant).

Pour ne pas trop s'égarer, on pourrait dans un premier temps se limiter au cas intuitif de l'homologie d'une variété algébrique : que peut-on dire de deux variétés qui ont même homologie ? On peut montrer que deux variétés homéomorphes ont même homologie, mais la réciproque n'est pas vraie, il me semble. Et donc ?

Idem pour la cohomologie de De Rham ou la cohomologie des faisceaux : quelles informations contiennent-elles pour les variétés correspondantes (différentielles / algébriques) ?

Enfin, si on se place au niveau algébrique pur, on dit souvent que la cohomologie permet de mesurer le manque d'exactitude d'une suite courte, m'enfin ce n'est pas très satisfaisant comme explication, je trouve.

Merci d'avance pour vos contributions.

Cordialement.
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[invite4ef352d8]

Ce permet principalement de montrer que deux variété ne sont pas homéomorphe (ou meme non homotope selon le type de Co-homologie qu'on étudie).
Tu peut jeter un Oeil aux preuves des ths de Jordan, de Brouwer, de la boule chevelue ou le th d'Antipodie de Borsuk-Ulam qui (enfin certaine preuve) utilise l'homologie singulière.

il y a aussi des énoncés fort qui permette de retrouver des résultats concret à partir de résultat de (co)Homologie : par exemple le th de Lefschetz qui sous certaine hypothèse relie le nb de point fixe d'une application f:V->V à la somme des (-1)^i*Tr(f_i)
ou f_i désigne l'application que f induit sur i-ième groupe de cohomologie (enfin... ou qqch du meme genre....) (enssentiellement, quand les deux sont fini ils sont souvent égaux, et quand la somme est non nul il y à des points fixe, ca implique le th de brouwer pour n'importe qu'elle variété compact contractile)

on peut aussi citer l'exemple des conjecture de Weil, qui relie le nombre de point sur les corps fini d'une variété algébrique à coeficient entier avec ces groupes d'homologie en tant que variété complexe. Weil avait conjecturé que c'était une connséquence d'un th de lefschetz pour les variété algébriques sur des corps finis. toute la difficulté de la preuve (qui a pris quelques décénies) à été d'inventer une bonne notion de variété algébrique (les schémas), de définir une cohomologie dessus vérifiant le th de Lefschetz (la cohomologie étale et la cohomologie cristaline) et enfin de montrer que cette cohomologie coincide avec la cohomologie de De rahm quand les deux sont définie ie pour des Variétés à coeficient entier en gros (et la y à bessoin de gros th de comparaison )

[martini_bird]

Merci pour ta réponse Ksilver.

J'avoue que je reste un peu sur ma faim : j'ai l'impression que l'information contenue dans les groupes de cohomologie est souvent hautement non-triviale (à part le genre et les nombres de Betti pour l'homologie, et encore...). Tu confirmes ?

Juste une précision : pour démontrer que deux variétés ne sont pas homotopes, on s'intéresse pas plutôt aux groupes d'homotopies (qui sont plus gros que les groupes d'homologie) ?

Cordialement.

[taladris]

Bonsoir,

un intérêt des groupes de (co)ohomologie, c'est qu'ils sont souvent plus facile à calculer que les groupes d'homotopie.
Par exemple, on calcule "facilement" l'homologie d'une sphere de dimension quelconque. Par contre, on ne connait pas tous les groupes d'homotopie des sphères.

En géométrie différentielle, on peut aussi voir qu'une variété n'a pas certaines propriétés (être kahlérienne ou symplectique) en calculant son homologie.

D'un point de vue algébrique, si on considère des complexes différentielles d'espaces vectoriels (ou de groupes ou de modules), l'homologie est la mesure de l'exactitude de la suite. C'est donc un objet intéressant en soit.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

un intérêt des groupes de (co)ohomologie, c'est qu'ils sont souvent plus facile à calculer que les groupes d'homotopie.

Oui bien sûr (puisqu'ils en sont les abélianisés), mais alors pourquoi calculer des groupes d'homotopie ?

D'un point de vue algébrique, si on considère des complexes différentielles d'espaces vectoriels (ou de groupes ou de modules), l'homologie est la mesure de l'exactitude de la suite. C'est donc un objet intéressant en soit.

Oui, mais bon c'est un peu la tarte à la crème comme argument, je trouve : ça n'explique pas quelle est l'information contenue dans les groupes de cohomologie.

Merci néanmoins pour ton message.

[martini_bird]

En géométrie différentielle, on peut aussi voir qu'une variété n'a pas certaines propriétés (être kahlérienne ou symplectique) en calculant son homologie.

Oui, tout comme pour les théorèmes de Brouwer, etc., c'est un usage par « contraposition » : n'existe-t-il pas des applications « positives » de la cohomologie, i.e. pour démontrer qu'une variété possède effectivement une propriété ?

En d'autres termes, peut-on ramener (au moins dans certains cas) la cohomologie d'une variété à des invariants « concrets » ?

Cordialement.

[invite4ef352d8]

Oui bien sûr (puisqu'ils en sont les abélianisés), mais alors pourquoi calculer des groupes d'homotopie ? >>> le lien entre les deux est beaucoup plus complexe que cela : de toute facon les Pi_n n>1 sont déja abélien donc les abélianisé ne changera pas grand choses

si mes souvenir sont bon, les groupes d'homotopie forme "presque" un système complet d'invariant d'homotopie. dans le sens ou :
il est faux que deux variété ayant les memes groupes d'homotopie sont homotope, en revanche, si on a une application f entre deux variété qui induit des isomorphismes sur tous les groupes d'homotopie alors f est une équivalence d'homotopie. (c'est un premier résultat concret ca non ? )


sinon je t'ai déja donné deux résultat qui relie les groupes d'homologie ou de co-homologie et l'action des applications dessus à des données concrète : les conjecture de Weil et le théorème de Lefschetz.

[taladris]

Salut,

Salut,



Oui bien sûr (puisqu'ils en sont les abélianisés), mais alors pourquoi calculer des groupes d'homotopie ?

Je dirais:
-> parce que bien que bien que plus facilement calculables, l'homologie ne donne pas toute l'information (mais j'ai peur qu'on tourne en rond avec cet argument ) En gros: après l'étape "facile" du calcul d'homologie, on passe à la partie très difficile qui est l'homotopie.
-> parce que la définition des groupes d'homotopie est très naturelle. Et donc il est logique d'avoir envie de les calculer.

Oui, mais bon c'est un peu la tarte à la crème comme argument, je trouve : ça n'explique pas quelle est l'information contenue dans les groupes de cohomologie.

Merci néanmoins pour ton message.

L'information de la (co)-homologie est justement la mesure de l'exactitude d'une suite. Tout comme le groupe des commutateurs est la mesure de la commutativité d'un groupe.

Cordialement,

[taladris]

Salut,

Salut,



Oui bien sûr (puisqu'ils en sont les abélianisés), mais alors pourquoi calculer des groupes d'homotopie ?

Je dirais:
-> parce que bien que bien que plus facilement calculables, l'homologie ne donne pas toute l'information (mais j'ai peur qu'on tourne en rond avec cet argument ) En gros: après l'étape "facile" du calcul d'homologie, on passe à la partie très difficile qui est l'homotopie.
-> parce que la définition des groupes d'homotopie est très naturelle. Et donc il est logique d'avoir envie de les calculer.

Oui, mais bon c'est un peu la tarte à la crème comme argument, je trouve : ça n'explique pas quelle est l'information contenue dans les groupes de cohomologie.

Merci néanmoins pour ton message.

L'information de la (co)-homologie est justement la mesure de l'exactitude d'une suite. Tout comme le groupe des commutateurs est la mesure de la commutativité d'un groupe.

Cordialement,

[martini_bird]

Salut,

Oui bien sûr (puisqu'ils en sont les abélianisés), mais alors pourquoi calculer des groupes d'homotopie ? >>> le lien entre les deux est beaucoup plus complexe que cela : de toute facon les Pi_n n>1 sont déja abélien donc les abélianisé ne changera pas grand choses

Oups : un petit retour aux sources au sujet des groupes d'homotopie supérieurs s'impose à moi !

il est faux que deux variété ayant les memes groupes d'homotopie sont homotope, en revanche, si on a une application f entre deux variété qui induit des isomorphismes sur tous les groupes d'homotopie alors f est une équivalence d'homotopie. (c'est un premier résultat concret ca non ? )

Oui.

sinon je t'ai déja donné deux résultat qui relie les groupes d'homologie ou de co-homologie et l'action des applications dessus à des données concrète : les conjecture de Weil et le théorème de Lefschetz.

Re-oui. Mais snif, c'est quand même pas évident de voir clair dans ces histoires de cohomologies !

En tout cas, merci pour vos réponses constructives, Ksilver et taladris.

Je vais poursuivre mon chemin et essayer de digérer les chapitres de Serre sur la cohomologie des groupes (dans Corps locaux), mais bon, c'est pas gagné...

Cordialement.

[invite4ef352d8]

Enfin, il faut quand meme garder à l'esprit que la cohomologie est un outils technique. En soit c'est pas toujour pertinent, mais c'est souvent un mal neccesaire pour prouver d'autre résultat...

[invite52487760]

Bonsoir,

Je me permets de vous faire découvrir le lien suivant : http://analysis-situs.math.cnrs.fr/-Cohomologie-.html , très plaisant et un peu ludique sur la notion de cohomologie pour les novices, même si le présent fil date de plusieurs années.
Régalez vous.

Cordialement.

[invite52487760]

Bonsoir,

Je profite de cette ancienne discussion pour vous demander si vous pouvez m'indiquer un bon cours sur le net pour m'initier aux doubles et triples complexes. J'ai lu que les doubles et triples complexes servent à définir la notion d’hyper-cohomologie qui est une généralisation de la cohomologie des faisceaux définit sur un simple complexe de faisceaux ( c'est à dire ni sur des doubles ni sur des triples ni sur des n-th complexes ), si j'ai bien saisi toute l'histoire de ce monde d'objets.

Merci d'avance.