Equation différentielle du second degré et conditions initiales

[invite9617f995]

Bonjour à tous.

J'ai rencontré un problème dans la résolution d'une équation différentielle du second degré qui dépasse mes connaissances de lycéen. Je viens donc vous demander un peu d'aide.

J'explique rapidement d'où vient cette équation pour ceux que ça intéresse : j'ai imaginé deux objets "seuls" dans un espace, sans vitesse initiale ni charge. La gravitation agit sur ces deux objets, qui donc s'attirent, ce qui rend la force de gravitation de plus en plus forte.
J'ai ensuite cherché à modéliser ça de façon mathématique, en appliquant la deuxième loi de Newton (somme des forces appliquées sur un objet = masse*accélération), on aboutit finalement à l'équation différentielle du second degré suivante :

où x représente la distance entre les deux objets et c une constante positive.

Malheureusement, je ne savais pas résoudre ce genre d'équation et j'ai donc essayé par tâtonnement. J'ai tout d'abord observé que la fonction qui à t associe t^2/3 était solution de l'équation à une constante près. Puis, j’ai fait une simulation grâce à la méthode d’Euler sur un tableur et en cherchant une fonction qui avait un comportement similaire à ce que je recherchais (ce qui n'était pas le cas de t^2/3), je suis arrivé à cette fonction :
avec .

Mais il me reste un problème, dans les conditions initiales, je souhaite que ma fonction ait une dérivée en 0 nulle (pas de vitesse initiale) mais je n'arrive pas à trouver une fonction solution de (E) qui vérifie ça.

En existe-t-il une (je pense que oui, vu qu’une telle fonction est facilement modélisable grâce à la méthode d’Euler) ? Si oui, laquelle ? Et y a-t-il une méthode pour la trouver (bien que je risque de ne pas trop la comprendre) ?

Voilà, merci d’avance à ceux qui me répondront.
Silk78
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[KerLannais]

Salut,

Oui il existe une solution, à priori il y a une méthode pour trouver la solution (une formule explicite) mais les calculs sont très pénibles et du coup j'ai laissé tomber Mais je peux te donner le début du raisonnement. D'abord on cherche une intégrale première (c'est une fonction de la position et la vitesse (c-à-d de x et sa dérivée) qui est conservée (les physiciens appellent ça une énergie). Cela revient à intégrer une fois l'équation et à se ramener à une équation du premier ordre. Pour une équation de la forme:

(on rencontre souvent ce genre d'équation en physique).
Si admet une primitive
on pose:

On voit bien que si on dérive on trouve:

(c'est de là que vient le "un demi de èmvédeu" pour l'énergie cinétique, l'autre terme est appelé énergie potentielle)
Dans ton cas ça donne:

puisque tu suppose la vitesse initiale nulle. Tu en déduis que

(et oui la distance entre les objets diminue et donc la dérivée est négative.)
C'est une équation du premier ordre à variables séparables et donc il y a une méthode, cela conduit à calculer une intégrale et il y a aussi une méthode pour la calculer mais c'est pas du niveau lycée A la fin on se ramène à résoudre une équation par différentielle cette fois, dont x est solution mais l'équation est un peu trop immonde pour pouvoir la résoudre explicitement (enfin à mon sens), c'est pourquoi je me suis arrété là. Cela dit tu peux chercher sur internet la méthode de résolution des équations à variables séparables, c'est du niveau lycée puisqu'on l'enseigne juste après le lycée.

[inviteaf1870ed]

Pour présenter autrement l'apparition "miraculeuse" de E(t) :

On veut résoudre une équation de la forme y"+f(y)=0 (1), et on suppose connue une fonction F telle que F'=f.

Alors on multiplie l'équation (1) par y' : y'y"+y'f(y)=0;
On intègre :

1/2 y'²+F(y)=Cte

On voit bien que le membre de gauche correspond à E(t), l'invariant physique.

[invite9617f995]

Merci à vous deux pour l'explication mathématique ... et "physique" de la résolution ...

J'avoue que je n'avais pas pensé à l'énergie mécanique (cinétique + potentielle) qui reste constante et sa "traduction" mathématique ... c'est vraiment pas bête ^^

[A voir en vidéo sur Futura]