théorie des ensemble

[invite9d2d3d4c]

je suis en licence de maths je ne suis pas trés forte et je prépare un mémoire sur Cantor.

J'aimerais comprendre ce qu'est la théorie des ensemble si quelqu'un a une explication pas trop compliqué...

Merci .
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[Antikhippe]

Il y a plein de sites et de bouquins qui en parlent... une petite recherche sur Google et tu vas vite trouver :
http://www.reunion.iufm.fr/recherche..._ensembles.htm (ce n'est qu'un exemple).

Le mieux, c'est que tu lises ceci et que tu poses des questions sur des points précis...

[martini_bird]

Salut,

la théorie des ensembles est une construction axiomatique inventée dans le but de faire reposer les mathématiques sur des bases logiques stables. Elle définit ce que sont les objets mathématiques primordiaux (ensembles, applications, nombres entiers) et surtout ce que l'on a le droit de faire avec (afin de contourner les nombreux paradoxes de la fin du XIX^ème siècle).

Ceci étant, je rejoins la remarque d'Antikhippe: une fois de plus, ta question est très vaste.

Cordialement.

[matthias]

la théorie des ensembles est une construction axiomatique inventée dans le but de faire reposer les mathématiques sur des bases logiques stables. Elle définit ce que sont les objets mathématiques primordiaux (ensembles, applications, nombres entiers) et surtout ce que l'on a le droit de faire avec (afin de contourner les nombreux paradoxes de la fin du XIX^ème siècle).

Juste une précision: on ne définit pas tous les objets mathématiques primordiaux. On a un certain nombre de "termes primitifs" dont les axiomes établissent les propriétés, mais auxquels on ne donne pas de définition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Antikhippe]

De toutes façons, aucune démonstration n'est parfaitement rigoureuse puisque chacune d'entre elles repose sur des axiomes qu'on ne parviendra jamis à démontrer...

[matthias]

De toutes façons, aucune démonstration n'est parfaitement rigoureuse puisque chacune d'entre elles repose sur des axiomes qu'on ne parviendra jamis à démontrer...

Non.
Une démonstration consiste à déduire une proposition à partir d'autres propositions, pas à établir une sorte de vérité absolue.
Ca n'aurait pas de sens d'essayer de démontrer les axiomes. La seule chose importante est de montrer qu'un système d'axiomes donné n'induit aucune contradiction. Mais là, déjà, on a un petit problème ...

[erik]

De toutes façons, aucune démonstration n'est parfaitement rigoureuse puisque chacune d'entre elles repose sur des axiomes qu'on ne parviendra jamis à démontrer...

Oui une démonstration repose (in fine) sur un certain nombre d'axiomes, mais cela n'empèche nullement une démonstration d'être parfaitement rigoureuse.
Faire une démonstration rigoureuse d'un énoncé consiste seuleument à montrer (en utilisant uniquement quelques règles de logique parfaitement formalisées (genre tiers exclu)) que l'énoncé découle des axiomes ou d'un autre énoncé découlant des axiomes. N'importe quel lycéen fait des démonstrations totalement rigoureuses tout au long de ses études.

Erik

[Antikhippe]

Une démonstration consiste à déduire une proposition à partir d'autres propositions

Sauf que ces propositions dont on se sert comme hypothèses ne sont pas obligatoirement vraies, même si elles n'engendrent pas de contradictions pour le moment. En effet, on trouvera peut-être des contradictions plus tard, ce qui fera tomber tout raisonnement appuyé sur ces propositions...

[matthias]

Sauf que ces propositions dont on se sert comme hypothèses ne sont pas obligatoirement vraies, même si elles n'engendrent pas de contradictions pour le moment. En effet, on trouvera peut-être des contradictions plus tard, ce qui fera tomber tout raisonnement appuyé sur ces propositions...

C'est plus compliqué que cela. On ne définit pas la vérité mathématique comme une vérité absolue.
Du moment que les axiomes ne se contredisent pas, ils sont la vérité dans ce système axiomatique.
Est vrai tout ce qui découle logiquement des axiomes.

[Antikhippe]

Est vrai tout ce qui découle logiquement des axiomes.

Oui, je suis d'accord avec ça... mais seulement, rien ne dit que le départ est vrai.

[invite19415392]

En effet, on trouvera peut-être des contradictions plus tard, ce qui fera tomber tout raisonnement appuyé sur ces propositions...

En fait, ça ne fera pas tomber le raisonnement à proprement parler ; par contre, sachant que les prémisses sont fausses, on ne peut plus rien dire sur la conclusion.

[martini_bird]

Juste une précision: on ne définit pas tous les objets mathématiques primordiaux. On a un certain nombre de "termes primitifs" dont les axiomes établissent les propriétés, mais auxquels on ne donne pas de définition.

Nous sommes d'accord: un certain nombre d'objets est défini par les axiomes; les autres sont construits.

Concernant la remarque d'Antikhippe, il faut être conscient qu'il n'y a pas de vérité absolue en mathématique: tout dépend en effet des axiomes considérés (du sytème logique choisi).

Un exemple concret (parmi d'autres): le théorème "tout espace vectoriel admet une base" est vrai dans ZFC mais pas dans ZF.

Cordialement.

[Antikhippe]

Un exemple concret: le théorème "tout espace vectoriel admet un base" est vrai dans ZFC mais pas dans ZF.

Pour Riemann aussi, je crois qu'il disait que la somme des angles d'un triangle n'est pas égale à 180°...

[erik]

Un exemple:
Tu peux accepter comme axiome (de la géometrie) : "Par un point extérieur à une droite, il passe une droite et une seule parallèle à la droite donnée." Cet axiome (avec d'autres) considéré comme vrai te permet de construire la géométrie Euclidienne.
Mais tu peux très bien considérer cet axiome comme faux et construire une autre géométrie (géométrie Riemannienne ... ) .
Et il n'y a pas une géométrie plus vrai (au sens mathematique de terme) qu'une autre.

Les axiomes sont les briques que tu utilises, et tu peux prendre ce que tu veux comme briques (à condition qu'il n'y ait pas un axiome en contradiction avec les autre axiomes)


Edit: Multi-croisement

[matthias]

Oui, je suis d'accord avec ça... mais seulement, rien ne dit que le départ est vrai.

Je pense qu'il faut que tu voies ce qu'est un système axiomatique pour comprendre:
axiomes de Peano:
1) Zéro est un nombre
2) Le successeur immédiat d'un nombre est un nombre
3) Zéro n'est pas le successeur immédiat d'un nombre
4) Il n'existe pas deux nombres distincts possédant le même successeur immédiat
5) Toute propriété appartenant à Zéro et au successeur immédiat de tout nombre possédant cette même propriété appartient à tous les nombres

On ne définit pas Zéro, nombre, successeur immédiat, qu'on pourrait remplacer par chemise, clou, piment. Les axiomes n'établissent pas les propriétés d'entités réelles, ils ne se réfèrent pas à une vérité sous-jacente. Du moment qu'ils ne se contredisent pas, ils constituent un système axiomatique consistant.

Une autre question est de savoir comment il se fait que les mathématiques soient si efficaces, mais là on est dans le domaine de la méta-mathématique et de la philo.

[martini_bird]

On ne définit pas Zéro, nombre, successeur immédiat, qu'on pourrait remplacer par chemise, clou, piment.

Ou camisole?

Une autre question est de savoir comment il se fait que les mathématiques soient si efficaces, mais là on est dans le domaine de la méta-mathématique et de la philo.

Plus de la philo que de la méta-mathématique proprement dite. Mais on effet, on dérive.

[erik]

axiomes de Peano:

Une précision
Ces axiomes permettent de construire l'ensemble N des entiers, et implique la validité du raisonnement par récurrence.
(c'est pas forcément évident quand on les découvre pour la première fois)

[matthias]

Une précision
Ces axiomes permettent de construire l'ensemble N des entiers, et implique la validité du raisonnement par récurrence.
(c'est pas forcément évident quand on les découvre pour la première fois)

Oui, j'avais oublié de le préciser.

Une version totalement équivalente:
1) Bidule-truc est un Machin-chouette
2) Le Schtroumf d'un Machin-chouette est un Machin-chouette
3) Bidule-truc n'est pas le Schtroumf d'un Machin-chouette
4) Il n'existe pas deux Machin-chouette distincts possédant le même Schtroumf
5) Toute propriété appartenant à Bidule-truc et au Schtroumf de tout Machin-chouette possédant cette même propriété appartient à tous les Machin-chouette

[EDIT: ça permet toujours de construire IN, et c'est encore moins évident ]

[GrisBleu]

Salut

Comme on a l air de parler d ensemble, j avoue me poser une question.
En consultant des sites (wikipedia en l occurence : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...t%C3%A9gories), je suis tombe sur la theroie des categories.
Ca a l air de generaliser un tas de ce hoses. Sauf que je me demande comment est definie la "classe" des objets ?????
l auteur nous dits qu'ils ne necessitent aucune definition. Mais ca m etonne un peu....
Si il y avait des gens competents

[martini_bird]

Salut

Comme on a l air de parler d ensemble, j avoue me poser une question.
En consultant des sites (wikipedia en l occurence : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...t%C3%A9gories), je suis tombe sur la theroie des categories.
Ca a l air de generaliser un tas de ce hoses. Sauf que je me demande comment est definie la "classe" des objets ?????
l auteur nous dits qu'ils ne necessitent aucune definition. Mais ca m etonne un peu....
Si il y avait des gens competents

Salut,

la théorie des catégories permet de surmonter le fait que la collection (au sens commun) de tous les ensembles n'est pas un ensemble. En effet si on accepte l'existence de l'ensemble de tous les ensembles, des paradoxes logiques apparaissent.

Ainsi le langage des catégories permet néanmoins de parler de classe d'objet (catégorie des ensembles, des groupes abéliens, des espaces annelés, etc.) et surtout de comparer leurs structures, au moyen des foncteurs.

Mais une catégorie peut être une ensemble (elle alors dite petite) ou finie (elle possède un nombre finie d'objets).

Cordialement.