R\Q INTER [0;1] ne contient aucun ouvert non vide

[invite92876ef2]

Bonjour à tous.

Je suis un peu coincé là, R\Q INTER [0;1] ne contient aucun ouvert non vide, mais pourquoi ?????? Ca voudrait dire que R\Q INTER [0;1] est fermé.

Mais R\Q n'est pas fermé !...

Expliquez-moi, s'il vous plaît...
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Je suis un peu coincé là, R\Q INTER [0;1] ne contient aucun ouvert non vide, mais pourquoi ??????

Parce que entre deux réels distincts on peut toujours trouver un rationnel. (dit autrement : toute boule ouverte de contient un rationnel)

Ca voudrait dire que R\Q INTER [0;1] est fermé.

Non, ça signifie qu'il n'est pas ouvert dans .

[invite92876ef2]

Non ça n'a rien à voir avec le fait que l'intersection est un fermé.

En quoi "Parce que entre deux réels distincts on peut toujours trouver un rationnel." implique que l'intersection n'est pas d'ouvert non vide ?

[Flyingsquirrel]

En quoi "Parce que entre deux réels distincts on peut toujours trouver un rationnel." implique que l'intersection n'est pas d'ouvert non vide ?

Pour que soit un ouvert de il faut que pour chaque point on puisse trouver une boule qui soit incluse dans . Or comme entre et il existe un rationnel , l'inclusion implique que ce qui est absurde puisse que . L'ensemble ne contient donc aucune boule ouverte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite92876ef2]

Chacun des points de R\Q INTER [0;1] ne possède pas de voisinage ?! Si on trace le segment [0;1] on peut bien trouver pour tous les points de l'intersection (on raye en rouge quelques régions symbolisant les rationnels Q de [0;1], même s'il y en a une infinité...) un réel epsilone aussi petit que l'on veule tel que tous les points soient le centre d'une boule ouverte de rayon epsilone, non ????

[invite92876ef2]

Oh la vache c'est aussi bidon que cela. Je connais mal la propriété de la présence d'un rationnel et d'un irrationnel dans tout interval (non cingleton), et tâcherai maintenant d'en prendre grand soin.

Merci beaucoup !

[Flyingsquirrel]

Je connais mal la propriété de la présence d'un rationnel et d'un irrationnel dans tout interval (non cingleton), et tâcherai maintenant d'en prendre grand soin.

On peut comprendre la première propriété en sachant que n'importe quel réel peut être approché aussi finement qu'on le souhaite par une suite de rationnels. Par exemple la suite des troncatures de l'écriture décimale de à chiffres après la virgule convient car c'est une suite de rationnels qui converge vers . Pour on aurait et, plus généralement, ( désigne la fonction partie entière).

Si maintenant on se donne deux réels distincts et tels que , on a, en posant , . Comme la suite converge vers , il existe un rang à partir duquel tous les sont dans l'intervalle et par conséquent contient des nombres rationnels.

Pour prouver que tout intervalle ouvert non vide contient également un nombre irrationnel on peut procéder de la même manière : on construit une suite de nombres irrationnels dont la limite appartient à l'intervalle en question.