Série (presque) infinie

[invite3c9b3841]

Bonjour à tous,

J'ai besoin de votre aide pour le calcul d'une série tronquée:



où a est un réel non nul et n est un entier non nul.

J'ai essayé d'utiliser:



avec



mais ca ne m'aide pas beaucoup...

quelqu'un a une idée ?

D'avance merci

MV
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[breukin]

Que signifie "calculer" ?

[invite3c9b3841]

Pour n=3 et a=2 par exemple, je veux connaitre la valeur de


MV

[breukin]

Mais cela ne vous avance sans doute pas à grand chose parce que vous n'avez toujours pas précisé ce que vous sous-entendez par "calculer", bref quel type de résultat vous escomptez.

Cela dit, en faisant intervenir la fonction gamma incomplète :

avec

Mais cela va-t-il vous aider ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c9b3841]

J'ai mal présenté mon problème, veuillez m'excuser.

Je souhaite en fait calculer une signification statistique et pour cela ai besoin de calculer l'intégrale d'une densité de probabilité (la p-value).

Ma densité de probabilité (ddp) étant une fonction de Poisson de paramètre a (a serait le nombre d'événements attendus avec mon expérience) et n étant le nombre que je mesure effectivement, la p-value est par définition l'intégrale de la ddp de n à l'infini.

(d'où ma question).

Je souhaite ainsi savoir si cette série peut se mettre sous une forme simple sans somme.

Pour le calcul de la signification statistique je considère ensuite une Gaussienne normalisée et considère que cette p-value est l'intégrale de la queue de la Gaussienne
http://cnx.org/content/m13525/latest/p_value.gif

Sachant que l'integrale d'une Gaussienne à 1 sigma couvre 68%, je peux convertir cette p-value en "sigma". C'est de cette facon qu'on parle de "découverte à 5sigma".


MV

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

Je commence par faire le point (ce n'est pas forcément utile) :

On a une v.a. de Poisson et une réalisation (à partir d'un échantillon) de cette v.a.

On calcule la p-value :
afin de la comparer à un seuil qu'on s'est fixé à l'avance (10%, 5% ou 1% très souvent).

Je ne crois pas qu'on puisse donner une expression "plus simple" de la p-value, mais...

... je pense qu'en t'intéressant à la vitesse de convergence de la série, tu peux aboutir à des résultats numériques potentiellement utiles.

Par exemple, si on suppose que , on peut borner le reste par . (D'où une convergence très très rapide... et donc une p-value qui décroit très très vite quand la réalisation augmente. On pouvait s'en douter étant donné que la loi de Poisson charge les entiers proches de 0 - c'est la loi des événements rares.)

Je pense que ce type de majoration peut largement suffire dans ton problème puisque in fine la p-value est calculée pour être comparée à un seuil.

[invite3c9b3841]

Merci, c'est une bonne idée en effet et très clair pour a=1,
mais supposons par exemple a = 100 et n = 80,

n'est il pas possible d'utiliser l'approximation de Stirling et de passer à la limite continue pour avoir une formule "sympathique"?

MV

[inviteaeeb6d8b]

Tu peux raisonner de manière qualitative également.

Le paramètre de la loi de Poisson est aussi sa moyenne. Je soupçonne donc que si et , la p-value va être plutôt grande.

(Vérification numérique : je trouve une p-value d'environ 98% )


Au passage, je m'aperçois que j'ai fait une erreur dans mon message précédent :


Et bien sûr, la loi de Poisson est la loi des événements rares si le paramètre est petit.

[inviteaeeb6d8b]

D'ailleurs, l'exemple que tu donnes me fait penser à cela : quand le paramètre de la loi de Poisson est petit, c'est pour modéliser des événements rares, et il est donc logique de chercher la p-value unilatérale à droite.

Mais dans le cas où le paramètre est grand (par exemple ), il faudrait peut-être chercher la p-value bilatérale.
Par exemple, la probabilité que la réalisation soit 80 quand le paramètre vaut 100 est seulement de 2%. (C'est donc une réalisation très improbable sous l'hypothèse "la variable suit une loi de Poisson de paramètre 100"...)

Maintenant, je ne connais pas le contexte dans lequel tu travailles.

[invite3c9b3841]

Ce qui m'étonne en fait c'est qu'un collègue a récemment utilisé une "formule" (magique?) pour calculer la signification statistique et que cette formule était étonnement simple.



oú n est le "nombre de sigma", Ns le nombre d'événements de signal et Nb le nombre d'événements de bruit.

J'ai l'impression que pour avoir un résultat qualitatif précis il faut nécessairement passer par un calcul numérique, qu'en pensez vous ?



MV

[invite3c9b3841]

Je travaille en physique des particules, l'idée est la suivante:

pour une expérience donnée pour laquelle on prédit 10 evts. de bruit, on mesure 15 evts., on a donc un excès par rapport à notre modèle utilisé pour la prédiction. Quelle la signification statistique de cet excés ?

MV

[inviteaeeb6d8b]

J'ai l'impression que pour avoir un résultat qualitatif précis il faut nécessairement passer par un calcul numérique, qu'en pensez vous ?

Non, pas nécessairement. Le cas où et la "formule magique" semblent le montrer.

Peut-être on parvient à s'en sortir en "convertissant" la p-value en ce que vous appelez "nombre de ".

Dans tous les cas, cette formule :

me semble être une approximation. (Ce serait trop beau sinon !)

Pour aller plus loin, vous devriez décrire avec précision le modèle que vous considérez.

pour une expérience donnée pour laquelle on prédit 10 evts. de bruit, on mesure 15 evts., on a donc un excès par rapport à notre modèle utilisé pour la prédiction.

Que signifie prédire ici ? Il ne semble pas y avoir de hasard. Peut-être voulez-vous dire "en moyenne" on a 10 événements auquel cas, le nombre d'événements suit une loi de Poisson de moyenne 10.

Pourquoi y a-t-il ici un seul type d'événement (un seul compteur) alors qu'il semble y en avoir deux dans la "formule magique" ?

Enfin, il me semble bizarre que le paramètre de la loi de Poisson n'intervienne pas dans cette fameuse formule.

[invite3c9b3841]

Je me suis encore mal exprimé:

Un modèle physique nous donne une prédiction pour les nombres d'événements de signal (Ns) et de bruit (Nb), soit un nombre total d'événement Ns+Nb.
On suppose que notre modèle est correct et donc que la distribution du nombre d'événements mesurés est une Poissonienne de paramètre Ns+Nb.

Le calcul de la significance nous donne ensuite une estimation de l'accord des données avec ce modèle.

Cette formule est donnée dans le cas où le nombre d'événements que nous mesurons réellement avec notre détecteur est N=Ns+Nb. La p-value est donc l'intégrale de la Poissonienne "à droite du pic".

Est ce plus clair ?

MV

[inviteaeeb6d8b]

En clair, on a une variable aléatoire (nombre d'événements mesurés) qui suit une loi de Poisson de paramètre .
Dans ce cas, je ne comprends pas pourquoi la signification statistique n'est pas symétrique en et .

[invite3c9b3841]

Exact,
par ailleurs tu as totalement raison, ça devrait être symétrique
1000 = 999(Ns) + 1(Nb)
ou
1000 = 999(Nb) + 1(Ns)
devraient être équivalents.

Je vais demander plus de renseignements à celui qui m'a donné cette relation.

[inviteaeeb6d8b]

Et surtout, la réalisation de l'expérience n'intervient pas dans cette formule (ce qui est aussi très curieux).

Au final, si on note la réalisation de la variable aléatoire de Poisson dont le paramètre est , on souhaite trouver tel que :

Pour le calcul de la signification statistique je considère ensuite une Gaussienne normalisée et considère que cette p-value est l'intégrale de la queue de la Gaussienne

C'est bien ça ?

[invite3c9b3841]

Oui, c'est bien ca,

mais je viens de discuter avec ce collègue et apparemment cette formule ne provient pas du calcul de la p-value pour une distribution de Poisson, mais de la p-value pour le rapport de likelihood:


où P est la distribution de Poisson.

[breukin]

Cela dit, pour revenir au problème purement mathématique de savoir comment "calculer" la série tronquée, eh bien à mon avis, il n'y a pas de formule simple comme il en existe une (si |a|<1) pour :

J'en ai donné une dans mon second message, mais elle reporte le problème sur le calcul d'une intégrale.

[invite4ef352d8]

si il s'agit de majorer le reste : somme pour k>n de a^k/k!
la formule de taylor lagrange donne une exelente majoration :

c'est inférieur à a^(n+1)*exp(a)/(n+1)!