norme sur R[x]

[invite0f6f1e2d]

salut les amis ,
je suis en train de faire un exercice sur les normes dans R[x]
bon , pour la première question, ça passe , pour la deuxième j'ai hésité un peu.
en faite:

pour tout , on pose:



1) il est facile de monter que est une norme
2)soit l'application tel que
tel que
on nous demande cette fois ci de montrer que est linéaire et discontinue


pour la linéarité , il y a pas un problème
soit et soient alors :



pour la discontinuité , j'hésite encore:
je pense que je dois le montrer par l'absurde ( je sais pas s'il y a una autre méthode )

suppons alors que est continue sur .
soit
u est continue en signifique que :
, il existe tel que si
alors

j'espère que est la bonne notation et non pas .
j'hésite encore entre la norme et la valeur absolue vayant que la norme est un nouveau objet pour moi dans l'analyse des espaces vectoriels normés.

bon si on applique cette définition que j'ai écrit tout à l'heure, on aura :



bon , j'arrive à ce state et je me pose cette question comme si je ne sais pas si l'applicationest continue ou pas :
si l'application est vraiment continue , je dois arriver à une chose comme ça :

mais , la première implication me donne un chose plus réduit , plus local ( on peut dire au voisignage de ) qui n'est global comme
d'où je conclus que l'application est discontinue.
que pensez-vous de cette réponse malgré que je sens qu'elle est tirée par les cheveux ?
y a-t-il d'autres pistes pour y parvenir ?
merci.
-----

[invitec317278e]

pour montrer la discontinuité, tu peux utiliser la définition séquentielle de la continuité, et la suite de polynômes

[invite0f6f1e2d]

pour montrer la discontinuité, tu peux utiliser la définition séquentielle de la continuité, et la suite de polynômes

salut ,
peut-tu m'expliquer en travaillant un peu sur cet exemple.
sincèrement, je n'ai jamais utiliser une suite comme pour montrer la continuité d'une fonction ou application.
merci d'avance.

[inviteb991d87f]

en utilisant des formules du cours c'est assez simple révise ton cours prendre ton bouquin apprends comprends tu verra c'est facile tu dérive la fonction sur son intervalle asymétrique et tu intègres ensuite tu divise par son conjugué modulable et tu trouve le résultat voulu

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

pour construire une suite contre exemple, tu peux aussi le faire sans expliciter :

considère la fonction f sur [0,3] qui est nul sur [0,1] affine sur [1,3] et telle que f(1)=3.

cette fonction est continu, donc il existe une suite de polynome P_n qui tend vers f uniformement d'apres le th de Weierstrass. et donc u(P_n)->1 alors que ||P_n||->0 donc u est discontinu !

bien sur donner une suite explicite P_n comme le fait Thorin marche aussi : il s'agit de majorer ||P_n|| pour montrer que ca tend vers 0 et de calcule u(P_n) pour montrer que ca ne tend pas vers 0, ce sont des calcules vraiment très simple, si tu essai de les faire tu va forcement y arriver...

[Flyingsquirrel]

u est continue en signifique que :
, il existe tel que si
alors

j'espère que est la bonne notation et non pas .

Il faudrait plutôt écrire .

[Flyingsquirrel]

tu divise par son conjugué modulable

Qu'est-ce que le « conjugué modulable » ?

[invite0f6f1e2d]

salut les amis ;
je suis encore en train d'essayer en cette question.
mais ; désolé mon ami Mathipolo ; je ne comprends rien de rien de ce que tu as dit :

en utilisant des formules du cours c'est assez simple révise ton cours prendre ton bouquin apprends comprends tu verra c'est facile tu dérive la fonction sur son intervalle asymétrique et tu intègres ensuite tu divise par son conjugué modulable et tu trouve le résultat voulu

il me parait aussi que la fonction définite par Ksilver doit avoir 0 pour image de 1 our qu'elle sera continue sur l'intervalle [0,3] à moins que je n'ai pas compris bien:

considère la fonction f sur [0,3] qui est nul sur [0,1] affine sur [1,3] et telle que f(1)=3.

cette fonction est continu, donc il existe une suite de polynome P_n qui tend vers f uniformement d'apres le th de Weierstrass. et donc u(P_n)->1 alors que ||P_n||->0 donc u est discontinu !

pour ce qui a dit l'ami Thorin ; ça m'a l'air de confirmer le début de ma réponse ( lorsque j'ai uyilisé la définition de la continuité ; j'espère bien que j'ai bien compris la définition de la continuité séquentielle: continuité en un point ); il me reste alors de bien introduire le contre exemple

pour montrer la discontinuité, tu peux utiliser la définition séquentielle de la continuité, et la suite de polynômes

merci

[invite0f6f1e2d]

Il faudrait plutôt écrire .

salut ;

je suis convaincu maintenant qu'on utilise la norme seulement pour les vecteurs or ne me semble pas un vecteur : c'est un polynôme

y a-t-il un erreur dans mon résonnement ?
merci

[invitec317278e]

qu'est-ce qu'un vecteur, dans R[X] ...?

[invite0f6f1e2d]

j'ai trouvé le théorème qui me permet d'utiliser un contre exemple pour montrer la non-continuité d'une fonction , mais comme ça l'indique : le théorème est pour les fonctions et je ne sais pas faire l'analogie avec les espaces vectoriels normés.
de toute façon :
est continue en a


signifie que


pour toute suite qui tend vers a : la limite de lorsque n tend vers \infty est



je sais que je dois utiliser la contraposée.
mais , quelqu'un peut me dire la version de ce théorème dans les espaces vectoriels normés .
merci d'avance.

[invite0f6f1e2d]

qu'est-ce qu'un vecteur, dans R[X] ...?

si , est un vecteur .
en effet , il a des coordonnées dans la base

[invite4ef352d8]

"il me parait aussi que la fonction définite par Ksilver doit avoir 0 pour image de 1 our qu'elle sera continue sur l'intervalle [0,3] à moins que je n'ai pas compris bien:" >>> j'ai dit nul sur [0,1] donc entre autre f(1)=0 oui ^^


un "vecteur" c'est un element d'un espace vectorielle... donc ici les vecteurs ce sont les polynomes c'est pour ca qu'on ecrit ||P-Pn||
en revanche, si tu prend un x entre 0 et 1 et que tu ecris P(x) la c'est un nombre réelle, donc on ecrit |P(x)-P_n(x)| mais ca ne veut plus dire la meme chose (avant c'était le sup sur [0,1], maintenant c'est juste la valeur en un point x fixé...)


"j'espère bien que j'ai bien compris la définition de la continuité séquentielle: continuité en un point )" >>> je saisis pas trop ce que tu veux dire là, quand on parle de "continuité séquentielle" c'est la continuité par rapport aux suites (le fait que si Un->l, alors f(Un)->f(l) ). dans un espace topologique général, la continuité séquentielle est pas toujour équivalente à la continuité... mais dans le cas des espace métriques ca fait juste référence au fait que :
" f est continu si et seulement si pour toute suite Un convergent vers un point l alors f(Un) converge vers f(l)"
pour montrer que f est discontinu ("séquentiellement discontinu en réalité, mais on viens de dire que c'était équivalent) il suffit sont de donner un exemple de suites Un telle que Un->l mais que f(Un) ne tend pas vers f(l)

ici on prend une suite Un qui tend vers 0, (ie une suite de polynome P_n telle que ||P_n|| ->0 ) mais telle que u(P_n) =P_n(3) ne tend pas vers 0...


Edit : il n'y à aucune analogie à faire ! l'énoncé est exactement le meme dans les EVN...

[invite0f6f1e2d]

salut ,
je crois que je parviens et c'est grâce à vous ; les amis ; une deuxième fois aujourd'hui:

bon, comme vous m'avez dit : je veux utiliser la continuité séquentielle.
soit alors la suite de fonctions ( déjà enoncée ):
pour tout n :entier
supposons que est continue
d'où pour toute suite , converge vers

or
qui dépend de n alors n'est pas convergente
conclusion:
l'application est discontinue.
j'espère que c'est juste.
une autre fois merci .

[invite4ef352d8]

deux problème :

un pas grave : tu fais quelques erreurs de notations et de language, par exemple on ecrit pas u(f_n(3)) mais u(f_n) ou f_n(3) (qui sont la meme choses)
et dire u(p) est continu est un peu génant... u(p) est un réel. ce qui est continu c'est la fonction u, donc on écrit plutot "u est continu" (encore que c'est un abus de notation relativement toléré...)
le fait que 6^n ne converge pas ce n'est pas parceque ca dépend de n, mais parceque ca tend vers l'infinie... (parceque heuresement il y a des choses qui dépend de n mais qui converge quand meme... sinon la notion de convergence serait un peu triste ^^ )


et un plus grave en revanche :
une fonction f est continu si pour toute suite Un CONVERGEANT vers l f(Un) converge vers l...

ici u(P_n)=6^n ne converge pas d'accord, mais il faut quand meme vérifier que P_n tend vers qqch ( 0 en l'occurence) ie vérifier que ||P_n|| -> 0

[invite0f6f1e2d]

et un plus grave en revanche :
une fonction f est continu si pour toute suite Un CONVERGEANT vers l f(Un) converge vers l...

ici u(P_n)=6^n ne converge pas d'accord, mais il faut quand meme vérifier que P_n tend vers qqch ( 0 en l'occurence) ie vérifier que ||P_n|| -> 0

pourquoi tu insistes que ||P_n|| -> 0 ?
sachant que u(p)=p(3) ; il faut chercher une suite de fonctios qui tend vers 3 . n'est ce pas ?
ou je fais un erreur dans mon raisonnement ?

[invite4ef352d8]

... non pas du tous... "une suite de fonction p_n qui tend vers 3" ca veut dire quoi déja pour toi ???

ce que tu cherche, c'est une suite de POLYNOME P_n telle que P_n converge vers vers un polynome P pour la norme ||. || de ton énoncé, mais telle que u(P_n) ne tendent pas vers u(P) (ie que P_n(3) ne tendent pas vers P(3) )

toi tu as juste donné une suite P_n telle que P_n(3) ne converge vers rien du tous, mais pour que ca prouve la discontinuité il faut montrer que P_n converge pour ||.|| (j'espère quand meme que tu remarque que dans ta preuve le choix de la norme intervient nul part...)