Applications et nombre d'éléments

[invite473fd10c]

Bonjour, je débute une année de prépa maths sup maths spé, et je me posais la question suivante:

Soit f:E->F une application,
f injective non surjective => F a strictement plus d'éléments que E ?
f surjective non injective => F a strictement moins d'éléments que E?

Pour des ensembles finis, c'est à peu près évident, mais pour des ensembles infinis?

Par exemple soit f:IR->IR U {2i} une application.
x |-> 2x

f est injective (2x=2x' => x=x') et non surjective (2i ne peut pas être atteint), peut on affirmer pour autant que IR U {2i} a plus d'éléments que IR, alors que tout 2 ont une infinité d'éléments?

Merci d'avance de vos réponses.
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[mimo13]

Bonjour, je débute une année de prépa maths sup maths spé, et je me posais la question suivante:

Soit f:E->F une application,
f injective non surjective => F a strictement plus d'éléments que E ?
f surjective non injective => F a strictement moins d'éléments que E?

Pour les ensembles finis ce que tu dit est vrai, je peux meme ajouté que si f est bijective alors

mais pour des ensembles infinis?

Par exemple soit f:IR->IR U {2i} une application.
x |-> 2x

f est injective (2x=2x' => x=x') et non surjective (2i ne peut pas être atteint), peut on affirmer pour autant que IR U {2i} a plus d'éléments que IR, alors que tout 2 ont une infinité d'éléments?

FAUX !!! Une fois on est dans un ensemble infini la notion de nombre d'éléments ou de cardinal n'a plus de sens.

Exemple flagrant: la fonction est bijective de vers .

Cordialement

[Médiat]

Soit f:E->F une application,
f injective non surjective => F a strictement plus d'éléments que E ?
f surjective non injective => F a strictement moins d'éléments que E?

A ton avis est-ce que les raisonnements suivant sont valides :

L'application de IN dans IN qui a x associe 2x est injective et non surjective, donc IN a strictement plus d'éléments que IN.

L'application de IN dans IN qui a x associe Partie entière(x/100) est surjective et non injective, donc IN a strictement moins d'éléments que IN.

J'imagine que tu as répondu non, ce qui montre que tes implications sont fausses.

Elles le sont pour deux raisons :
1) Une hirondelle ne fait pas ... pardon, une injection de E dan F permet de conclure que F a au moins "autant d'éléments" que E, mais pas strictement, cela tu pourras le conclure si tu montre qu'il n'existe aucune surjection.
2) Le vocabulaire que tu utilises est trompeur, il serait plus sain de n'utiliser "nombre d'éléments" que pour les ensembles finis, et Cardinal pour les ensembles infinis (et pour les finis aussi cela marche).

[Médiat]

FAUX !!! Une fois on est dans un ensemble infini la notion de nombre d'éléments ou de cardinal n'a plus de sens.

Arggh, la notion de nombre d'éléments je suis bien d'accord, mais pas pour le cardinal qui est une notion qui va très très bien aux ensembles infinis.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

utilise Cardinal pour les ensembles infinis (et pour les finis aussi cela marche).

Comment ça pour les ensembles infinis, ça n'a pas de sens !!!

[Médiat]

Comment ça pour les ensembles infinis, ça n'a pas de sens !!!

Si, il suffit pour s'en convaincre de lire la définition du cardinal, rien dans cette définition permet d'exclure les ensembles infinis (c'est même pour eux que cette définition a été mise au point).

[invite473fd10c]

Merci à vous deux pour vos éclaircissements, et désolé pour les erreurs de vocabulaire, donc si j'ai bien compris, il ne fallait pas montrer que f est non surjective, mais qu'il n'existe aucune surjection, c'est bien çà?
(pour la première implication)

Et aussi, peut-on affirmer que IR et IR U {2i} ont le même cardinal?