Nombre d'éléments d'ordre k

[Bleyblue]

Bonjour,

Je considère le groupe de toutes les permutations d'un ensemble de n éléments muni de la composition

Quelqu'un sait-il s'il est possible de déterminer le nombre d'éléments d'ordre k (0 < k <= n) dans un tel groupe ?

Je ne vois pas trop comment faire, même en fixant k c'est horrible

Vous avez une idée ?

merci
-----

[invite35452583]

Bonsoir,
tu cherches une formule générale, ça je n'en suis pas sûr mais je doute que ça existe.
Par contre si tu cherches une méthode générale, ça existe et c'est assez pénible, je vais voir si je peux faire ça mais pas avant jeudi ou vendredi.

[Bleyblue]

Mais en fait un de mes camarades de cours m'a expliqué comment faire.

Mettons par exemple que je cherche le nombre éléments d'ordre 2 du groupe S₆

Comme toute permutation se décompose de manière unique en cycles disjoints (je ne savais même pas ça ...) je dois compter le nombre de permutations du type :

1) (a,b)
2) (a,b)°(c,d)
3) (a,b)°(c,d)°(e,f)

Dans le premier cas j'ai 6.5/2 cas possible (on divise par deux car (a,b) est équivalent à (b,a)
Dans le second 6.5.4.3/2.2 (on divise encore par deux car (a,b)°(c,d) équivaut à (c,d)°(a,b)
De même pour le troisième cas j'ai 6!/(2.2.2.3) cas possibles

Et je n'ai plus qu'a sommer

merci

[invite35452583]

Comme toute permutation se décompose de manière unique en cycles disjoints (je ne savais même pas ça ...)

Oui tout est là (ou presque)
l'exemple avec ordre 2 laisse espérer une formule simple mais si on prend pour ordre 4x3x5 dans S18
on a au moins un cycle d'ordre divisible par 4
au moins un cycle d'ordre divisble par 3
au moins un cycle d'ordre divisble par 5

Cas ordre divisble par 4,3 et 5=>ordre 60 impossible

cycle ordre 12=>+1 cycle ordre 5 (12+5=17=18-1 fin)
cycle ordre 15 (15+4>18 impossible) ordre 20 impossible

1 cycle ordre 4, 1 cycle ordre 3, 1 cycle ordre 5
restent 18-(4+3+5)=6
=>possibilités
4+3+5+6
4+3+5+5(+1)
4+3+5+4+2
4+3+5+4(+1+1)
4+3+5+3+3
4+3+5+3+2(+1)
4+3+5+3(+3x1)
4+3+5+3x2
4+3+5+2x2+(2x1)
4+3+5+2+(4x1)
4+3+5+(6x1)

C'est ce que j'appelle pénible , et laisse beaucoup moins d'espoir d'une formule générale. Maintenant cette méthode arrive à calculer dans un temps raisonnable pour Sn avec n pas trop grand.
Ceci dit, la théorie des représentations est peut-être plus performante sur cette question mais je ne m'y connais pas assez.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

ah oui, enfin moi je voulais juste pouvoir calculer ça pour de petites valeurs de n

Ca se complique visiblement lorsqu'on commence avec des valeurs de n plus grandes

merci bien !

[invite35452583]

ah oui, enfin moi je voulais juste pouvoir calculer ça pour de petites valeurs de n

Alors tout va bien !