Prolongement de la fonction Gamma

[invite2e5fadca]

Bonjour, j'étudie en ce moment la fonction , et je ne comprends pas bien son prolongement. Je m'explique :

On a


Cette intégrale converge absolument pour Re(s)>0.
Après un développement en série, et quelques justifications on a :



Ce que je ne comprends pas, c'est que la dernière expression est définie sur , alors que l'intégrale de base ne convergeait que sur le demi plan Re(s)>0.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer, celà m'aiderais.

Merci pour votre aide.
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[invitea41c27c1]

Pour la même raison que
.
Je te laisse refléchir...

NB : Il y a un dans l'exponentiel.

[invite2e5fadca]

Je pense, mais je me trompe peut-être, que le problème vient de s=0, c'est à dire que la primitive utiliser pour le calcul n'est que valable sur , et donc cette égalité aussi. En faite on obtient pas mais sa restriction à Re(s) >0.

Cependant cela ne nous empêche pas de prolonger analytiquement 1/s sur le plan complexe.

[breukin]

Effectivement, c'est le voisinage de 0 qui restreignait la définition de l'intégrale à Re s > 0.

Mais l'intégrale débutant à a>0 est définie sur tout C.

Note : évidemment, dans l'intégrale, l'exponentielle est négative : e^–t !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2e5fadca]

Je crois que j'ai compris, là ou l'intégrale converge, on peut la réécrire sous une autre forme, qui elle par contre est définie presque partout.

On peut donc prolonger Gamma par prolongement analytique.

Je vous remercie pour votre aide.