Fonction à sens unique et distance entre vecteurs

[invite711cde7a]

Bonjour à tous,

Je précise d'emblée que je ne suis mathématicien. Je dispose d'un diplôme d'ingénieur en informatique, mais j'ai toujours eu du mal avec les mathématiques

Je m'adresse à vous, à tout hasard, car j'ai effectué des recherches sur le WEB, en vain.

Voici le problème que je désire résoudre :

• Supposez que vous ayez deux vecteurs : V=(va, vb, vc,...) et W=(wa, wb, wc,...).
• Supposez que vous soumettiez ces deux vecteurs à une transformation T : TV=T(V) et TW=T(W).

J'aimerais savoir s'il existe une fonction T, telle que :

• d(V, W) = C.d(TV, TW)
• T est une transformation à sens unique. Autrement dit, si l'on connaît T(V), on ne peut pas calculer V.

Notations :

• Avec d(V, W) : Distance entre les vecteurs V et W.
• C: Une constante.

Ma question est peut-être stupide... Si c'est le cas, je m'excuse de la poser

Pouvez-vous me mettre sur une piste, un élément de réponse?

Merci à tous,

DD
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[KerLannais]

Salut,

Ce que tu appelles fonction à sens unique s'appelle en maths une fonction non inversible. Il est que si la constante C est nulle alors il y a une réponse simple, C ne saurait être négative à cause de la positivité des distances. Je suppose que tu prends C>0. Dans ce cas la réponse à ta question est non, mais la démonstration est pas triviale (mais ça reste un exercice pas trop difficile de prépa). D'abord tu vois que quitte à composer par une homotéthie vectorielle de rapport 1/C, tu peux te ramener au cas C=1. Dans ce cas les distances sont conservées, on dit que la transformation est une isométrie. On peut montrer que les isométrie (au moins en dimension finie, j'avoue qu'en dimension infinie je ne me suis jamais posé la question) sont linéaires (c'est là le passage délicat de la preuve) puis on en déduit que les seules isométries vectorielles possibles sont les composées de rotation et de réflexions (symétrie axiale par rapport à un axe qui passe par 0). C'est ce qu'en mécanique on appelle une transformation rigide, elle ne déforme pas les objets. En math c'est ce qu'on appelle le groupe orthogonal. On montre en passant que les isométrie conserve l'orthogonalité et en fait plus précisément elles conservent les angles orientés au signe près. Toutes ces transformations sont inversibles. Dans le cas d'une constante C différente de 1 il faut donc composer ces transformations avec les homotéthie de rapport non nul qui sont elles aussi inversibles.

Je te laisse chercher le passage délicat de la démo, si tu ne trouve pas je te donnerai des indices.

[invite711cde7a]

Salut,

Ce que tu appelles fonction à sens unique s'appelle en maths une fonction non inversible. Il est que si la constante C est nulle alors il y a une réponse simple, C ne saurait être négative à cause de la positivité des distances. Je suppose que tu prends C>0. Dans ce cas la réponse à ta question est non, mais la démonstration est pas triviale (mais ça reste un exercice pas trop difficile de prépa). D'abord tu vois que quitte à composer par une homotéthie vectorielle de rapport 1/C, tu peux te ramener au cas C=1. Dans ce cas les distances sont conservées, on dit que la transformation est une isométrie. On peut montrer que les isométrie (au moins en dimension finie, j'avoue qu'en dimension infinie je ne me suis jamais posé la question) sont linéaires (c'est là le passage délicat de la preuve) puis on en déduit que les seules isométries vectorielles possibles sont les composées de rotation et de réflexions (symétrie axiale par rapport à un axe qui passe par 0). C'est ce qu'en mécanique on appelle une transformation rigide, elle ne déforme pas les objets. En math c'est ce qu'on appelle le groupe orthogonal. On montre en passant que les isométrie conserve l'orthogonalité et en fait plus précisément elles conservent les angles orientés au signe près. Toutes ces transformations sont inversibles. Dans le cas d'une constante C différente de 1 il faut donc composer ces transformations avec les homotéthie de rapport non nul qui sont elles aussi inversibles.

Je te laisse chercher le passage délicat de la démo, si tu ne trouve pas je te donnerai des indices.

Salut,

Je te remercie pour ta réponse. Cela dit, je ne me lancerais pas dans la démonstration... Je n'ai pas fait de mathématiques depuis 13 ans (je suis ingénieur en informatique). Et je vais y passer des jours, voire des semaines!

En fait, en tant qu'ingénieur en informatique, je cherche des outils "prêts à l'emploi", accompagnés de la notice d'utilisation, pour ne pas faire n'importe quoi. Ce n'est pas de la paresse, c'est juste une façon de faire en informatique : On essaie d'éviter de réinventer une roue qui tourne bien... car, justement, elle tourne bien. Alors on pioche dans les "boîtes à outils informatiques" géantes disponibles sur le WEB. On trouve l'outil, avec la notice d'utilisation... et on l'utilise.

Si l'on devait redévelopper RSA à chaque fois que l'on désire l'utiliser... On n'aurait pas fini! Sans aller jusque là, une simple analyse de courrier électronique (avec les encodages divers et variés) est une tâche très complexe: On utilise des "analyseurs" de mail tout fait, éprouvés, qui ont fait leurs preuves. On gagne un temps considérable.

Merci,

A+